Google
Câu hỏi: . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-2=0$ và điểm $I\left( -1;2;-1 \right)$. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5.
A. $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=34$
B. $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16$
C. $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=25$
D. $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=34$
A. $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=34$
B. $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16$
C. $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=25$
D. $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=34$
Phương pháp
+ Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I và bán kính R và mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r thì ta có mối liên hệ ${{R}^{2}}={{h}^{2}}+{{r}^{2}}$ với $h=d\left( I,\left( P \right) \right)$. Từ đó ta tính được R.
+ Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và bán kính R có dạng ${{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
Cách giải
+ Ta có $h=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -1-2.2+2.\left( -1 \right)-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{9}{3}=3.$
+ Từ đề bài ta có bán kính đường tròn giao tuyến là $r=5$ nên bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{34}.$
+ Phương trình mặt cầu tâm $I\left( -1;2;-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{34}$ là ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=34.$
+ Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I và bán kính R và mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r thì ta có mối liên hệ ${{R}^{2}}={{h}^{2}}+{{r}^{2}}$ với $h=d\left( I,\left( P \right) \right)$. Từ đó ta tính được R.
+ Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và bán kính R có dạng ${{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
Cách giải
+ Ta có $h=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -1-2.2+2.\left( -1 \right)-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{9}{3}=3.$
+ Từ đề bài ta có bán kính đường tròn giao tuyến là $r=5$ nên bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{34}.$
+ Phương trình mặt cầu tâm $I\left( -1;2;-1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{34}$ là ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=34.$
Đáp án D.