Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y-z+1=0$ và đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{-x+1}{-1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{3}.$ Đường thẳng () thuộc mặt phẳng () đi qua điểm $A\left( 1;0;2 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( a;b;1 \right)$ cách đường thẳng (d) một khoảng bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
B. $\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D. $\sqrt{2}.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
B. $\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D. $\sqrt{2}.$
Vì $\left( \Delta \right)\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow a+b-1=0\Leftrightarrow b=1-a\Rightarrow \overrightarrow{u}\left( a;1-a;1 \right).$
Đường thẳng (d) có: $\left\{ \begin{aligned}
& Điểm\ B\left( 1;2;3 \right)\in \left( d \right) \\
& Vecto\ chỉ\ phương\overrightarrow{{{u}_{\left( d \right)}}}\left( 1;2;3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $d\left( \left( d \right),\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{u}_{\left( d \right)}}} \right].\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{u}_{\left( d \right)}}} \right]}=\dfrac{\left| 1-3a \right|}{\sqrt{3}\left| 1-3a \right|}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
Đường thẳng (d) có: $\left\{ \begin{aligned}
& Điểm\ B\left( 1;2;3 \right)\in \left( d \right) \\
& Vecto\ chỉ\ phương\overrightarrow{{{u}_{\left( d \right)}}}\left( 1;2;3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $d\left( \left( d \right),\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{u}_{\left( d \right)}}} \right].\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{u}_{\left( d \right)}}} \right]}=\dfrac{\left| 1-3a \right|}{\sqrt{3}\left| 1-3a \right|}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án A.