Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$. Gọi $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của d trên $\left( \alpha \right)$ và $\overrightarrow{u}=\left( 1;a;b \right)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta $ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính tổng $a+b.$
A. 0.
B. 1.
C. – 1.
D. – 2.
Dễ dàng tìm được tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $I\left( 1;1;1 \right)$. Trên đường thẳng d lấy điểm $A\left( 0;-1;2 \right)$ và gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Phương trình đường thẳng đi qua A và H có dạng:$\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=-1+t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right).$
Tọa độ của H là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=-1+t \\
& z=2+t \\
& x+y+z-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow t=\dfrac{2}{3}. $Vậy $ H\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{-1}{3};\dfrac{8}{3} \right).$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm I và H nhận vectơ $\overrightarrow{IH}=\left( \dfrac{-1}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{5}{3} \right)$ là một vectơ chỉ phương nên cũng nhận vectơ $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;4;-5 \right)$ là vectơ chỉ phương.
Vậy $a=4,b=-5\Rightarrow a+b=-1.$
A. 0.
B. 1.
C. – 1.
D. – 2.
Dễ dàng tìm được tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $I\left( 1;1;1 \right)$. Trên đường thẳng d lấy điểm $A\left( 0;-1;2 \right)$ và gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Phương trình đường thẳng đi qua A và H có dạng:$\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=-1+t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right).$
Tọa độ của H là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=-1+t \\
& z=2+t \\
& x+y+z-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow t=\dfrac{2}{3}. $Vậy $ H\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{-1}{3};\dfrac{8}{3} \right).$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm I và H nhận vectơ $\overrightarrow{IH}=\left( \dfrac{-1}{3};\dfrac{-4}{3};\dfrac{5}{3} \right)$ là một vectơ chỉ phương nên cũng nhận vectơ $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;4;-5 \right)$ là vectơ chỉ phương.
Vậy $a=4,b=-5\Rightarrow a+b=-1.$
Đáp án C.