Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}-4y+6\text{z}-13=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Điểm $M(a;b;c)$ $(a>0)$ nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu $(S)$ (A, B, C là các tiếp điểm) và $\widehat{AMB}=60{}^\circ ,\widehat{BMC}=90{}^\circ ,$ $\widehat{CMA}=120{}^\circ $. Tính ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$.
A. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{173}{9}$
B. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{112}{9}$
C. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-8$
D. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{23}{9}$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Do $M(a;b;c)\in d$ nên $M(t-1;t-2;t+1)$, mà $a>0$ nên $t-1>0\Leftrightarrow t>1$.
Đặt $MA=MB=MC=m>0$.
Trong $\Delta AMB$ có: $A{{B}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2MA.MB.\cos \widehat{AMB}=2{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}.\cos 60{}^\circ ={{m}^{2}}\Rightarrow AB=m$.
Trong $\Delta BMC$ có: $B{{C}^{2}}=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}-2MB.MC.\cos \widehat{BMC}=2{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}.\cos 90{}^\circ =2{{m}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{2}m$.
Trong $\Delta AMC$ có: $A{{C}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{C}^{2}}-2MA.MC.\cos \widehat{CMA}=2{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}.\cos 120{}^\circ =3{{m}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{3}m$.
Nhận xét thấy $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{m}^{2}}+{{\left( \sqrt{2}m \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{3}m \right)}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B.
Gọi J là trung điểm của AC thì $J\text{A}=JB=JC$, mà $MA=MB=MC$ và $IA=IB=IC$ nên I, J, M thẳng hàng và $IM\bot (ABC)$ tại J.
Ta có $\sin \widehat{IMC}=\sin \widehat{JMC}\Leftrightarrow \dfrac{IC}{MI}=\dfrac{JC}{MC}=\dfrac{AC}{2MC}=\dfrac{\sqrt{3}m}{2m}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow MI=\dfrac{2IC}{\sqrt{3}}=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}=6$.
Lại có $M{{I}^{2}}={{(2-t)}^{2}}+{{(4-t)}^{2}}+{{(-4-t)}^{2}}=3{{t}^{2}}-4t+36$.
Suy ra $M{{I}^{2}}=36\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Do $t>1$ nên $t=\dfrac{4}{3}\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)$.
Vậy ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{3}}+{{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{3}}+{{\left( \dfrac{7}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{112}{9}$.
A. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{173}{9}$
B. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{112}{9}$
C. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-8$
D. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{23}{9}$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Do $M(a;b;c)\in d$ nên $M(t-1;t-2;t+1)$, mà $a>0$ nên $t-1>0\Leftrightarrow t>1$.
Đặt $MA=MB=MC=m>0$.
Trong $\Delta AMB$ có: $A{{B}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2MA.MB.\cos \widehat{AMB}=2{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}.\cos 60{}^\circ ={{m}^{2}}\Rightarrow AB=m$.
Trong $\Delta BMC$ có: $B{{C}^{2}}=M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}-2MB.MC.\cos \widehat{BMC}=2{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}.\cos 90{}^\circ =2{{m}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{2}m$.
Trong $\Delta AMC$ có: $A{{C}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{C}^{2}}-2MA.MC.\cos \widehat{CMA}=2{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}.\cos 120{}^\circ =3{{m}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{3}m$.
Nhận xét thấy $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{m}^{2}}+{{\left( \sqrt{2}m \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{3}m \right)}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B.
Gọi J là trung điểm của AC thì $J\text{A}=JB=JC$, mà $MA=MB=MC$ và $IA=IB=IC$ nên I, J, M thẳng hàng và $IM\bot (ABC)$ tại J.
Ta có $\sin \widehat{IMC}=\sin \widehat{JMC}\Leftrightarrow \dfrac{IC}{MI}=\dfrac{JC}{MC}=\dfrac{AC}{2MC}=\dfrac{\sqrt{3}m}{2m}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Leftrightarrow MI=\dfrac{2IC}{\sqrt{3}}=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}=6$.
Lại có $M{{I}^{2}}={{(2-t)}^{2}}+{{(4-t)}^{2}}+{{(-4-t)}^{2}}=3{{t}^{2}}-4t+36$.
Suy ra $M{{I}^{2}}=36\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Do $t>1$ nên $t=\dfrac{4}{3}\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)$.
Vậy ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{3}}+{{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{3}}+{{\left( \dfrac{7}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{112}{9}$.
Đáp án B.