Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0$ và điểm M nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu $\left( S \right)$ (A, B, C là các tiếp điểm) và $\widehat{BMC}=60{}^\circ ,\widehat{AMB}=90{}^\circ ,\widehat{CMA}=120{}^\circ $. Khi đó, thể tích khối chóp M.ABC bằng:
A. $\dfrac{27\sqrt{2}}{4}.$
B. $\dfrac{9\sqrt{2}}{4}.$
C. $\dfrac{9\sqrt{2}}{2}.$
D. $\dfrac{9\sqrt{3}}{4}.$
A. $\dfrac{27\sqrt{2}}{4}.$
B. $\dfrac{9\sqrt{2}}{4}.$
C. $\dfrac{9\sqrt{2}}{2}.$
D. $\dfrac{9\sqrt{3}}{4}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$, bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Ta có: $MA=MB=MC=m>0$.
$AB=m\sqrt{2};BC=m;AC=m\sqrt{3}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B.
Gọi J là trung điểm $AC\Rightarrow JA=JB=JC$.
Do $IA=IB=IC$ nên $MI\bot \left( ABC \right)$ tại J.
Tam giác MIC vuông tại $C;\ \widehat{JMC}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{MIC}=30{}^\circ $.
Xét $\Delta IJC$ vuông tại J, $JC=\sin \widehat{MIC}.IC=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$
$\Rightarrow AC=3\sqrt{3};BC=3;AB=3\sqrt{2};MJ=\dfrac{3}{2}$.
Vậy thể tích cần tìm: $V=\dfrac{1}{6}.AB.BC.MJ=\dfrac{1}{6}.3\sqrt{2}.3.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$.
Ta có: $MA=MB=MC=m>0$.
$AB=m\sqrt{2};BC=m;AC=m\sqrt{3}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B.
Gọi J là trung điểm $AC\Rightarrow JA=JB=JC$.
Do $IA=IB=IC$ nên $MI\bot \left( ABC \right)$ tại J.
Tam giác MIC vuông tại $C;\ \widehat{JMC}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{MIC}=30{}^\circ $.
Xét $\Delta IJC$ vuông tại J, $JC=\sin \widehat{MIC}.IC=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$
$\Rightarrow AC=3\sqrt{3};BC=3;AB=3\sqrt{2};MJ=\dfrac{3}{2}$.
Vậy thể tích cần tìm: $V=\dfrac{1}{6}.AB.BC.MJ=\dfrac{1}{6}.3\sqrt{2}.3.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$.
Đáp án B.