Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9$ và $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\in \left( S \right)$ sao cho $A={{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ${{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}$ bằng
A. $2$.
B. $-1$.
C. $-2$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $-1$.
C. $-2$.
D. $1$.
Ta có: $A={{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}-A=0$ nên $M\in \left( P \right):x+2y+2z-A=0$,
do đó điểm $M$ là điểm chung của mặt cầu $\left( S \right)$ với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;1;1 \right)$ và bán kính $R=3$.
Tồn tại điểm $M$ khi và chỉ khi $d\left( I,\left( P \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{|6-A|}{3}\le 3\Leftrightarrow -3\le A\le 15$
Do đó, với $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ thì $A={{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}\ge -3$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $M$ là tiếp điểm của $\left( P \right):x+2y+2z+3=0$ với $\left( S \right)$ hay $M$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right)$. Suy ra $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thỏa: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}+3=0 \\
& {{x}_{0}}=2+t \\
& {{y}_{0}}=1+2t \\
& {{z}_{0}}=1+2t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& {{x}_{0}}=1 \\
& {{y}_{0}}=-1 \\
& {{z}_{0}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=-1$.
do đó điểm $M$ là điểm chung của mặt cầu $\left( S \right)$ với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;1;1 \right)$ và bán kính $R=3$.
Tồn tại điểm $M$ khi và chỉ khi $d\left( I,\left( P \right) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{|6-A|}{3}\le 3\Leftrightarrow -3\le A\le 15$
Do đó, với $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ thì $A={{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}\ge -3$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $M$ là tiếp điểm của $\left( P \right):x+2y+2z+3=0$ với $\left( S \right)$ hay $M$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right)$. Suy ra $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thỏa: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}+2{{y}_{0}}+2{{z}_{0}}+3=0 \\
& {{x}_{0}}=2+t \\
& {{y}_{0}}=1+2t \\
& {{z}_{0}}=1+2t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& {{x}_{0}}=1 \\
& {{y}_{0}}=-1 \\
& {{z}_{0}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=-1$.
Đáp án B.