Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S...

Ta có: $\left( S \right):\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
I\left( 1;-1;2 \right) \\
R=3 \\
\end{array} \right. $. Khi đó $ IM=5>R\Rightarrow M$ nằm ngoài mặt cầu.
Tâm $J\left( a;b;c \right)$ nằm trên $MI:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1 \\
y=-1+4t\left( t\in \mathbb{R} \right) \\
z=2-3t \\
\end{array} \right. $ nên $ J\left( 1;-1+4t;2-3t \right)$.
Xét tam giác $MHI$ vuông tại $H$ có:
$MI=5$ ; $IH=3$ $\Rightarrow MH=\sqrt{M{{I}^{2}}-H{{I}^{2}}}=4.\dfrac{1}{H{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}\Rightarrow HJ=\dfrac{12}{5}$.
$MJ.MI=M{{H}^{2}}\Rightarrow MJ=\dfrac{16}{5}$.
Mặt khác, $\left\{ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
M\left( 1;3;-1 \right) \\
J\left( 1;-1+4t;2-3t \right) \\
\end{array} \right. \right.\Rightarrow MJ=\sqrt{{{\left( -4+4t \right)}^{2}}+{{\left( 3-3t \right)}^{2}}}=\dfrac{16}{5}$.
$\Leftrightarrow {{\left( -4+4t \right)}^{2}}+{{\left( 3-3t \right)}^{2}}=\dfrac{256}{25}$ $\Leftrightarrow 16-32t+16{{t}^{2}}+9-18t+9{{t}^{2}}=\dfrac{256}{25}$
$\Leftrightarrow 25{{t}^{2}}-50t+\dfrac{369}{25}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
t=\dfrac{9}{25} \\
t=\dfrac{41}{25} \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
J\left( 1;\dfrac{11}{25};\dfrac{23}{25} \right) \\
J\left( 1;\dfrac{139}{25};\dfrac{-73}{25} \right) \\
\end{array} \right.$.
- Với $J\left( 1;\dfrac{11}{25};\dfrac{23}{25} \right)$ thì $IJ=\dfrac{9}{5}<IM$ (nhận).
- Với $J\left( 1;\dfrac{139}{25};\dfrac{-73}{25} \right)$ thì $IJ=\dfrac{\sqrt{1097}}{5}>IM$ (loại)
Vậy $J\left( 1;\dfrac{11}{25};\dfrac{23}{25} \right)$ nên: $2a+b+c=\dfrac{84}{25}$.
Bước 1: Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn giả thiết thứ nhất, giả sử tập hợp đó là $P$. Cụ thể ở bài này thì tập hợp đầu tiên là tập các điểm $M$ trên mặt cầu $S$
Bước 2: Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn giả thiết thứ hai, giả sử tập hợp đó là $Q$.
Bước 3: Tập hợp điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán là giao của hai tập $P,Q$. Cụ thể hơn, tập hợp điểm $M$ là đường trong tròn (giao của hai mặt cầu).