Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1$, đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-6}{-3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-2}{2}$ và điểm $M\left( 4; 3; 1 \right)$. Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng nào đi qua M, song song với ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S)?
A. $2x-2y+5z-22=0$
B. $2x+y+2z-13=0$
C. $2x+y-2z-1=0$
D. $2x-y+2z-7=0$
A. $2x-2y+5z-22=0$
B. $2x+y+2z-13=0$
C. $2x+y-2z-1=0$
D. $2x-y+2z-7=0$
Cách 1:
Gọi $\overrightarrow{n}=\left( 2a; b; c \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) cần lập, $4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$.
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left( -3; 2; 2 \right)$
Mặt phẳng (P) song song với ∆ nên ta có $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow -6a+2b+2c=0\Leftrightarrow c=3a-b$
Mặt phẳng (P) đi qua M và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ nên phương trình có dạng:
$2a\left( x-4 \right)+b\left( y-3 \right)+\left( 3a-b \right)\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 2ax+by+\left( 3a-b \right)z-11a-2b=0\left( * \right)$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 2; 2; 3 \right)$ và bán kính $R=1$
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) $\Leftrightarrow d\left( I, \left( P \right) \right)=1$
$\Leftrightarrow \dfrac{3\left| b \right|}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 3a-b \right)}^{2}}}}=1\Leftrightarrow \dfrac{3\left| b \right|}{\sqrt{13{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-6ab}}=1\Leftrightarrow 3\left| b \right|=\sqrt{13{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-6ab}$
$\Leftrightarrow 9{{b}^{2}}=13{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-6ab\Leftrightarrow 13{{a}^{2}}-6ab-7{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( 13a+7b \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=b \\
& 13a=-7b \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $a=b$, chọn $a=1\to b=1$ thay vào (*) ta được phương trình $\left( {{P}_{1}} \right):2x+y+2z-13=0$
Ta có $N\left( 6; 2; 2 \right)\in \Delta $ và $N\notin \left( {{P}_{1}} \right)$, suy ra $\left( {{P}_{1}} \right)//\Delta $
+ Với $13a=-7b$, chọn $a=7, b=-13$, thay vào (*) ta được phương trình $\left( {{P}_{2}} \right):14x-13y+34z-51=0$
Ta có $N\left( 6; 2; 2 \right)\in \Delta $ và $N\notin \left( {{P}_{2}} \right)$, suy ra $\left( {{P}_{2}} \right)//\Delta $.
Vậy chọn phương án B.
Cách 2: Trắc nghiệm
Gọi (P) là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$
Vì (P) đi qua $M\left( 4; 3; 1 \right)$ nên phương án A, C bị loại.
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( -3; 2; 2 \right)$. Do $\left( P \right)//\Delta $ nên $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0$. Do đó phương án D bị loại.
Vậy phương án B là phương án thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi $\overrightarrow{n}=\left( 2a; b; c \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) cần lập, $4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$.
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left( -3; 2; 2 \right)$
Mặt phẳng (P) song song với ∆ nên ta có $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow -6a+2b+2c=0\Leftrightarrow c=3a-b$
Mặt phẳng (P) đi qua M và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ nên phương trình có dạng:
$2a\left( x-4 \right)+b\left( y-3 \right)+\left( 3a-b \right)\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 2ax+by+\left( 3a-b \right)z-11a-2b=0\left( * \right)$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 2; 2; 3 \right)$ và bán kính $R=1$
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) $\Leftrightarrow d\left( I, \left( P \right) \right)=1$
$\Leftrightarrow \dfrac{3\left| b \right|}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 3a-b \right)}^{2}}}}=1\Leftrightarrow \dfrac{3\left| b \right|}{\sqrt{13{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-6ab}}=1\Leftrightarrow 3\left| b \right|=\sqrt{13{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-6ab}$
$\Leftrightarrow 9{{b}^{2}}=13{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-6ab\Leftrightarrow 13{{a}^{2}}-6ab-7{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( 13a+7b \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=b \\
& 13a=-7b \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $a=b$, chọn $a=1\to b=1$ thay vào (*) ta được phương trình $\left( {{P}_{1}} \right):2x+y+2z-13=0$
Ta có $N\left( 6; 2; 2 \right)\in \Delta $ và $N\notin \left( {{P}_{1}} \right)$, suy ra $\left( {{P}_{1}} \right)//\Delta $
+ Với $13a=-7b$, chọn $a=7, b=-13$, thay vào (*) ta được phương trình $\left( {{P}_{2}} \right):14x-13y+34z-51=0$
Ta có $N\left( 6; 2; 2 \right)\in \Delta $ và $N\notin \left( {{P}_{2}} \right)$, suy ra $\left( {{P}_{2}} \right)//\Delta $.
Vậy chọn phương án B.
Cách 2: Trắc nghiệm
Gọi (P) là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$
Vì (P) đi qua $M\left( 4; 3; 1 \right)$ nên phương án A, C bị loại.
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( -3; 2; 2 \right)$. Do $\left( P \right)//\Delta $ nên $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0$. Do đó phương án D bị loại.
Vậy phương án B là phương án thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.