Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $\left( S...

Cách 1: Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1; 1; 1 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{3}$ ; đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $u=\left( m; {{m}^{2}}; m \right)$ và đi qua điểm $O\left( 0; 0; 0 \right)$.
Ta có $\left[ \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{u} \right]=\left( m-{{m}^{2}}; 0; {{m}^{2}}-m \right)$
Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S)
$\Leftrightarrow d\left( I, d \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2{{\left( {{m}^{2}}-m \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{m}^{4}}+{{m}^{2}}}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{2{{\left( {{m}^{2}}-m \right)}^{2}}}{{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}}=3$
$\Leftrightarrow 2{{m}^{4}}-4{{m}^{2}}++2{{m}^{2}}=3{{m}^{4}}+6{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{4}}+4{{m}^{3}}+4{{m}^{2}}=0\left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Loại đáp án $m=0$ vì khi $m=0$ thì $\overrightarrow{u}=\left( 0; 0; 0 \right)$ không thể là vectơ chỉ phương của d. Vậy $m=-2$
Cách 2: Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S) thỏa mãn hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& x=mt \\
& y={{m}^{2}}t \\
& z=mt \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\left( mt \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{2}}t \right)}^{2}}+{{\left( mt \right)}^{2}}-2mt-2mt-2{{m}^{2}}t-2mt=0$
$\Leftrightarrow \left( 2{{m}^{2}}+{{m}^{4}} \right){{t}^{2}}-2\left( 2m+{{m}^{2}}t \right)=0\left( * \right)$
+ Với $m=0$ thì đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left( 0; 0; 0 \right)$ (vô lý).
+ Với $m\ne 0$ thì (*) là phương trình bậc hai ẩn t. Để đường thẳng d và mặt cầu (S) tiếp xúc với nhau thì phương trình (*) phải có nghiệm kép
$\Leftrightarrow {\Delta }'{{\left( 2m+{{m}^{2}} \right)}^{2}}-\left( 2{{m}^{2}}+{{m}^{4}} \right).0=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0\left( L \right) \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$