Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16$ và điểm $A\left( -1;-1;-1 \right).$ Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S). M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là
A. $6x+8y+11=0.$
B. $6x+8y-11=0.$
C. $3x+4y-2=0.$
D. $3x+4y+2=0.$
Cách 1: (S) có tâm $I\left( 2;3;-1 \right)$, bán kính $R=4.$
Ta có $A\left( -1;-1;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( -3;-4;0 \right)$, tính được $IA=5.$
Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận $\overrightarrow{IA}=\left( -3;-4;0 \right)$ làm vecto pháp tuyến.
Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được $I{{M}^{2}}=IH.IA$
$\Rightarrow IH=\dfrac{I{{M}^{2}}}{IA}=\dfrac{{{R}^{2}}}{IA}=\dfrac{16}{5},$ từ đó tính được $\overrightarrow{IH}=\dfrac{16}{25}\overrightarrow{IA},$ tìm được $H\left( \dfrac{2}{25};\dfrac{11}{25};-1 \right).$
Mặt phẳng cần tìm có phương trình là:
Phương trình mặt cầu đó là: $\left( {{S}'} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9.$
Khi đó mặt phẳng (P) cần tìm chứa giao tuyến của hai mặt cầu (S) và (S'). Phương trình mặt phẳng (P) là:
$\begin{aligned}
& \left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}} \right]-\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}} \right]=16-9 \\
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-6y+2z+14 \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x+2y+2z+3 \right)=7 \\
& \Leftrightarrow -6x-8y+4=0\Leftrightarrow 3x+4y-2=0. \\
\end{aligned}$
A. $6x+8y+11=0.$
B. $6x+8y-11=0.$
C. $3x+4y-2=0.$
D. $3x+4y+2=0.$
Cách 1: (S) có tâm $I\left( 2;3;-1 \right)$, bán kính $R=4.$
Ta có $A\left( -1;-1;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( -3;-4;0 \right)$, tính được $IA=5.$
Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận $\overrightarrow{IA}=\left( -3;-4;0 \right)$ làm vecto pháp tuyến.
Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được $I{{M}^{2}}=IH.IA$
$\Rightarrow IH=\dfrac{I{{M}^{2}}}{IA}=\dfrac{{{R}^{2}}}{IA}=\dfrac{16}{5},$ từ đó tính được $\overrightarrow{IH}=\dfrac{16}{25}\overrightarrow{IA},$ tìm được $H\left( \dfrac{2}{25};\dfrac{11}{25};-1 \right).$
Mặt phẳng cần tìm có phương trình là:
$-3\left( x-\dfrac{2}{25} \right)-4\left( y-\dfrac{11}{25} \right)=0\Leftrightarrow 3x+4y-2=0$
Cách 2: Ta có $AM=\sqrt{I{{A}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3$ nên tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm $A\left( -1;-1;-1 \right),$ bán kính $AM=3.$ Phương trình mặt cầu đó là: $\left( {{S}'} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9.$
Khi đó mặt phẳng (P) cần tìm chứa giao tuyến của hai mặt cầu (S) và (S'). Phương trình mặt phẳng (P) là:
$\begin{aligned}
& \left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}} \right]-\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}} \right]=16-9 \\
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-6y+2z+14 \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x+2y+2z+3 \right)=7 \\
& \Leftrightarrow -6x-8y+4=0\Leftrightarrow 3x+4y-2=0. \\
\end{aligned}$
Đáp án C.