Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=8$ và điểm $M\left( -1;1;2 \right)$. Hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right),\left( {{d}_{2}} \right)$ đi qua M và tiếp xúc mặt cầu (S) lần lượt tại A, B. Biết góc giữa $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ bằng $\alpha $ với $\cos \alpha =\dfrac{3}{4}$. Tính độ dài AB.
A. $\sqrt{7}$.
B. $\sqrt{11}$.
C. $\sqrt{5}$.
D. $7$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;-1 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{2};IM=\sqrt{22}$.
Ta có: $MA=MB=\sqrt{I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{22-8}=\sqrt{14}$.
Do $\cos IMB=\dfrac{MB}{IM}=\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{22}}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{IMB}<45{}^\circ \Rightarrow \widehat{AMB}<90{}^\circ \Rightarrow \alpha =\widehat{AMB}.$
Trong tam giác $MAB$ ta có: $A{{B}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2MA.MB.\cos \alpha =7\Rightarrow AB=\sqrt{7}.$
A. $\sqrt{7}$.
B. $\sqrt{11}$.
C. $\sqrt{5}$.
D. $7$.
Ta có: $MA=MB=\sqrt{I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{22-8}=\sqrt{14}$.
Do $\cos IMB=\dfrac{MB}{IM}=\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{22}}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{IMB}<45{}^\circ \Rightarrow \widehat{AMB}<90{}^\circ \Rightarrow \alpha =\widehat{AMB}.$
Trong tam giác $MAB$ ta có: $A{{B}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2MA.MB.\cos \alpha =7\Rightarrow AB=\sqrt{7}.$
Đáp án A.