Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=12$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z+11=0$. Xét điểm M di động trên mặt phẳng (P); các điểm A, B, C phân biệt di động trên mặt cầu (S) sao cho AM, BM, CM là các tiếp tuyến của (S). Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?
A. $H\left( \dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$
B. $D\left( 0;-1;3 \right)$
C. $E\left( \dfrac{3}{2};0;2 \right)$
D. $K\left( 0;3;-1 \right)$
A. $H\left( \dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$
B. $D\left( 0;-1;3 \right)$
C. $E\left( \dfrac{3}{2};0;2 \right)$
D. $K\left( 0;3;-1 \right)$
Cách 1:
Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-3y-2z-9=0$ có tâm $I\left( 1;1;1 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$
Giả sử $M\left( a;b;c \right)\in \left( P \right)$ thì $a-2b+2c+11=0\left( * \right)$
Và $M{{I}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}$
Do MA, MB, MC là các tiếp tuyến của (S) nên $IA\bot MA, IB\bot MB, IC\bot MC$
$\Rightarrow $ 5 điểm I, M, A, B, C cùng thuộc mặt cầu $\left( S' \right)$ có đường kính MI
Gọi J là trung điểm MI thì $J\left( \dfrac{a+1}{2};\dfrac{b+1}{2};\dfrac{c+1}{2} \right)$
Bán kính của mặt cầu $\left( S' \right)$ là $R'=\dfrac{MI}{2}=\dfrac{\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}}}{2}$
Phương trình mặt cầu $\left( S' \right)$ là
$\begin{aligned}
& {{\left( x-\dfrac{a+1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{b+1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-\dfrac{c+1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}}{4} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\left( a+1 \right)x-\left( b+1 \right)y-\left( c+1 \right)z+a+b+c=0 \\
\end{aligned}$
Hai khối cầu (S) và $\left( S' \right)$ cắt nhau theo thiết diện là mặt phẳng $\left( ABC \right)$, phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là:
$\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\left( a+1 \right)x-\left( b+1 \right)y-\left( c+1 \right)z+a+b+c \right]-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z-9 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 1-a \right)x+\left( 1-b \right)y+\left( 1-c \right)z+a+b+c+9=0$
Thay các điểm có tọa độ đã cho trong 4 phương án A, B, C, D ta thấy chỉ có điểm $\left( 0;3;-1 \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ vì
$\left( 1-a \right).0+\left( 1-b \right).3+\left( 1-c \right).\left( -1 \right)+a+b+c+9=0\Leftrightarrow a-2b+2c+11=0$ (đúng vì (*))
Cách 2: Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-3y-2z-9=0$ có tâm $I\left( 1;1;1 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$
Ta có $I{{M}_{0}}=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1-2.1+2.1+11 \right|}{3}=4>R$ nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S).
Phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1-2t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Điểm ${{M}_{0}}=d\cap \left( P \right)$ nên ta tìm được tọa độ ${{M}_{0}}\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{11}{3};-\dfrac{5}{3} \right)$
Áp dụng Bài toán 2, mặt phẳng $\left( ABC \right)$ luôn đi qua điểm H cố định thỏa mãn
$IH.I{{M}_{0}}={{A}_{0}}{{I}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow IH=\dfrac{{{R}^{2}}}{I{{M}_{0}}}=\dfrac{{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}{4}=3\Rightarrow \dfrac{IH}{I{{M}_{0}}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow 4\overrightarrow{IH}=3\overrightarrow{I{{M}_{0}}}$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 4\left( {{x}_{H}}-{{x}_{I}} \right)=3\left( {{x}_{{{M}_{0}}}}-{{x}_{I}} \right) \\
& 4\left( {{y}_{H}}-{{y}_{I}} \right)=3\left( {{y}_{{{M}_{0}}}}-{{y}_{I}} \right) \\
& 4\left( {{z}_{H}}-{{z}_{I}} \right)=3\left( {{z}_{{{M}_{0}}}}-{{z}_{I}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4\left( {{x}_{H}}-{{x}_{I}} \right)=3\left( -\dfrac{4}{3} \right) \\
& 4\left( {{y}_{H}}-{{y}_{I}} \right)=3.\dfrac{8}{3} \\
& 4\left( {{z}_{H}}-{{z}_{I}} \right)=3\left( -\dfrac{8}{3} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=0 \\
& {{y}_{H}}=3 \\
& {{z}_{H}}=-1 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ H\left( 0;3;-1 \right)$ là điểm cần tìm
Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-3y-2z-9=0$ có tâm $I\left( 1;1;1 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$
Giả sử $M\left( a;b;c \right)\in \left( P \right)$ thì $a-2b+2c+11=0\left( * \right)$
Và $M{{I}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}$
Do MA, MB, MC là các tiếp tuyến của (S) nên $IA\bot MA, IB\bot MB, IC\bot MC$
$\Rightarrow $ 5 điểm I, M, A, B, C cùng thuộc mặt cầu $\left( S' \right)$ có đường kính MI
Gọi J là trung điểm MI thì $J\left( \dfrac{a+1}{2};\dfrac{b+1}{2};\dfrac{c+1}{2} \right)$
Bán kính của mặt cầu $\left( S' \right)$ là $R'=\dfrac{MI}{2}=\dfrac{\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}}}{2}$
Phương trình mặt cầu $\left( S' \right)$ là
$\begin{aligned}
& {{\left( x-\dfrac{a+1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{b+1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-\dfrac{c+1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}}{4} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\left( a+1 \right)x-\left( b+1 \right)y-\left( c+1 \right)z+a+b+c=0 \\
\end{aligned}$
Hai khối cầu (S) và $\left( S' \right)$ cắt nhau theo thiết diện là mặt phẳng $\left( ABC \right)$, phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là:
$\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\left( a+1 \right)x-\left( b+1 \right)y-\left( c+1 \right)z+a+b+c \right]-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z-9 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 1-a \right)x+\left( 1-b \right)y+\left( 1-c \right)z+a+b+c+9=0$
Thay các điểm có tọa độ đã cho trong 4 phương án A, B, C, D ta thấy chỉ có điểm $\left( 0;3;-1 \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ vì
$\left( 1-a \right).0+\left( 1-b \right).3+\left( 1-c \right).\left( -1 \right)+a+b+c+9=0\Leftrightarrow a-2b+2c+11=0$ (đúng vì (*))
Cách 2: Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-3y-2z-9=0$ có tâm $I\left( 1;1;1 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$
Ta có $I{{M}_{0}}=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1-2.1+2.1+11 \right|}{3}=4>R$ nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S).
Phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1-2t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Điểm ${{M}_{0}}=d\cap \left( P \right)$ nên ta tìm được tọa độ ${{M}_{0}}\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{11}{3};-\dfrac{5}{3} \right)$
Áp dụng Bài toán 2, mặt phẳng $\left( ABC \right)$ luôn đi qua điểm H cố định thỏa mãn
$IH.I{{M}_{0}}={{A}_{0}}{{I}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow IH=\dfrac{{{R}^{2}}}{I{{M}_{0}}}=\dfrac{{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}{4}=3\Rightarrow \dfrac{IH}{I{{M}_{0}}}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow 4\overrightarrow{IH}=3\overrightarrow{I{{M}_{0}}}$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 4\left( {{x}_{H}}-{{x}_{I}} \right)=3\left( {{x}_{{{M}_{0}}}}-{{x}_{I}} \right) \\
& 4\left( {{y}_{H}}-{{y}_{I}} \right)=3\left( {{y}_{{{M}_{0}}}}-{{y}_{I}} \right) \\
& 4\left( {{z}_{H}}-{{z}_{I}} \right)=3\left( {{z}_{{{M}_{0}}}}-{{z}_{I}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4\left( {{x}_{H}}-{{x}_{I}} \right)=3\left( -\dfrac{4}{3} \right) \\
& 4\left( {{y}_{H}}-{{y}_{I}} \right)=3.\dfrac{8}{3} \\
& 4\left( {{z}_{H}}-{{z}_{I}} \right)=3\left( -\dfrac{8}{3} \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=0 \\
& {{y}_{H}}=3 \\
& {{z}_{H}}=-1 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ H\left( 0;3;-1 \right)$ là điểm cần tìm
Đáp án D.