Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+my+z-3m-1=0.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có đườn.g kính bằng 2.
A. $m=1.$
B. $m=-1$ hoặc $m=-2.$
C. $m=1$ hoặc $m=2.$
D. $m=-1.$
Mặt cầu $(S):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$ có tâm $I\left( 2;4;1 \right)$, bán kính $R=2.$
Ta có $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+4m+1-3m-1 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+1}}=\dfrac{\left| m+2 \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+2}}.$
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng 2 nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=1.$
Ta có ${{R}^{2}}={{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)+{{r}^{2}}\Leftrightarrow 4=\dfrac{{{\left( m+2 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+2}+1$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+4=3\left( {{m}^{2}}+2 \right)\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+2=0\Leftrightarrow m=1.$
A. $m=1.$
B. $m=-1$ hoặc $m=-2.$
C. $m=1$ hoặc $m=2.$
D. $m=-1.$
Mặt cầu $(S):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$ có tâm $I\left( 2;4;1 \right)$, bán kính $R=2.$
Ta có $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+4m+1-3m-1 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}+1}}=\dfrac{\left| m+2 \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+2}}.$
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng 2 nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=1.$
Ta có ${{R}^{2}}={{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)+{{r}^{2}}\Leftrightarrow 4=\dfrac{{{\left( m+2 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+2}+1$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+4=3\left( {{m}^{2}}+2 \right)\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+2=0\Leftrightarrow m=1.$
Đáp án A.