Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2m \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}+{{\left( z+2m \right)}^{2}}-9{{m}^{2}}+4m-1=0$. Biết khi $m$ thay đổi thì $\left( S \right)$ luôn chứa một đường tròn cố định. Bán kính đường tròn đó bằng
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
C. 1.
D. $\dfrac{4}{3}$.
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
C. 1.
D. $\dfrac{4}{3}$.
Giả sử $M\left( x,y,z \right)$ là điểm thuộc đường tròn $\left( C \right)$ cố định với mọi số thực $m$.
Ta có
${{\left( x-2m \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}+{{\left( z+2m \right)}^{2}}-9{{m}^{2}}+4m-1=0,\forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-1+2m\left( -2x+y+2z+2 \right)=0,\forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2x+y+2z+2=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của mặt cầu $\left( S' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ (tâm $O\left( 0;0;0 \right)$, bán kính R=1) và mặt phẳng $\left( P \right):-2x+y+2z+2=0$.
Ta có $d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{2}{3}\Rightarrow $ Bán kính đường tròn (C) là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
Ta có
${{\left( x-2m \right)}^{2}}+{{\left( y+m \right)}^{2}}+{{\left( z+2m \right)}^{2}}-9{{m}^{2}}+4m-1=0,\forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-1+2m\left( -2x+y+2z+2 \right)=0,\forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2x+y+2z+2=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-1=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của mặt cầu $\left( S' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ (tâm $O\left( 0;0;0 \right)$, bán kính R=1) và mặt phẳng $\left( P \right):-2x+y+2z+2=0$.
Ta có $d\left( O;\left( P \right) \right)=\dfrac{2}{3}\Rightarrow $ Bán kính đường tròn (C) là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
Đáp án B.