Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho mặt cầu $\left( S...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

cho mặt cầu

(S) : {(x - 2 m)}^{2} + {(y + m)}^{2} + {(z + 2 m)}^{2} - 9 m^{2} + 4 m - 1 = 0

. Biết khi

m

thay đổi thì

(S)

luôn chứa một đường tròn cố định. Bán kính đường tròn đó bằng
A.

\frac{2}{3}

.
B.

\frac{\sqrt{5}}{3}

.
C. 1.
D.

\frac{4}{3}

.

Giả sử

M (x, y, z)

là điểm thuộc đường tròn

(C)

cố định với mọi số thực

m

.
Ta có

{(x - 2 m)}^{2} + {(y + m)}^{2} + {(z + 2 m)}^{2} - 9 m^{2} + 4 m - 1 = 0, \forall m \in R

\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 + 2 m (- 2 x + y + 2 z + 2) = 0, \forall m \in R

\Leftrightarrow {\begin{aligned} - 2 x + y + 2 z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 \end{aligned}

Vậy đường tròn

(C)

là giao tuyến của mặt cầu

(S^{'}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

(tâm

O (0; 0; 0)

, bán kính

R = 1

) và mặt phẳng

(P) : - 2 x + y + 2 z + 2 = 0

.
Ta có

d (O; (P)) = \frac{2}{3} \Rightarrow

Bán kính đường tròn

(C)

là

r = \sqrt{R^{2} - {(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{3}

.

Đáp án B.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $\left( S...