Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng song song $(P):2\text{x}-y+2\text{z}-1=0$, $(Q):2\text{x}-y+2\text{z}+5=0$ và điểm $A(-1;1;1)$ nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng này. Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với cả $(P)$ và $(Q)$. Biết khi $(S)$ thay đổi thì tâm I của nó luôn thuộc đường tròn $(C)$ cố định. Diện tích hình tròn giới hạn bởi $(C)$ là:
A. $\dfrac{2\pi }{3}$
B. $\dfrac{4\pi }{9}$
C. $\dfrac{16\pi }{9}$
D. $\dfrac{8\pi }{9}$
Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=\dfrac{1}{2}d\left( (P),(Q) \right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left| 5-(-1) \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1$.
Tâm I của mặt cầu $(S)$ nằm trên mặt phẳng $(R)$ cách đều $(P)$ và $(Q)$.
Phương trình mặt phẳng $(R):2\text{x}-y+2\text{z}+2=0$.
Tâm I của mặt cầu $(S)$ nằm trên mặt cầu $({S}')$ có tâm A bán kính $R=IA=1$.
Gọi K là hình chiếu của A trên $(R)$ $\Rightarrow AK=d\left( A,(R) \right)=\dfrac{\left| 2.(-1)-1+2.1+2 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{1}{3}$.
Tâm I của mặt cầu $(S)$ nằm trên đường tròn $(C)$ là giao của mặt cầu $({S}')$ và mặt phẳng $(R)$ có tâm K và bán kính $r=KI=\sqrt{A{{I}^{2}}-A{{K}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
Diện tích hình tròn giới hạn bởi $(C)$ là $\pi {{r}^{2}}=\dfrac{8\pi }{9}$.
A. $\dfrac{2\pi }{3}$
B. $\dfrac{4\pi }{9}$
C. $\dfrac{16\pi }{9}$
D. $\dfrac{8\pi }{9}$
Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=\dfrac{1}{2}d\left( (P),(Q) \right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left| 5-(-1) \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1$.
Tâm I của mặt cầu $(S)$ nằm trên mặt phẳng $(R)$ cách đều $(P)$ và $(Q)$.
Phương trình mặt phẳng $(R):2\text{x}-y+2\text{z}+2=0$.
Tâm I của mặt cầu $(S)$ nằm trên mặt cầu $({S}')$ có tâm A bán kính $R=IA=1$.
Gọi K là hình chiếu của A trên $(R)$ $\Rightarrow AK=d\left( A,(R) \right)=\dfrac{\left| 2.(-1)-1+2.1+2 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{1}{3}$.
Tâm I của mặt cầu $(S)$ nằm trên đường tròn $(C)$ là giao của mặt cầu $({S}')$ và mặt phẳng $(R)$ có tâm K và bán kính $r=KI=\sqrt{A{{I}^{2}}-A{{K}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
Diện tích hình tròn giới hạn bởi $(C)$ là $\pi {{r}^{2}}=\dfrac{8\pi }{9}$.
Đáp án D.