Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z + 3 = 0$, $\left( Q \right): x + 2y - 2z - 5 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right): {{x}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}} -2x + 4y -6z -11 =0$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( S \right)$ và $N$ là điểm di động trên $\left( P \right)$ sao cho $MN$ luôn vuông góc với $\left( Q \right)$. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng
A. $9+5\sqrt{3}$.
B. $14$.
C. $28$.
D. $3+5\sqrt{3}$.
A. $9+5\sqrt{3}$.
B. $14$.
C. $28$.
D. $3+5\sqrt{3}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1; -2; 3 \right)$ và bán kính $R= 5$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1; -1; 1 \right)$, mặt phẳng $\left( Q \right)$ có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1; 2; -2 \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $M, N$ nhận $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1; 2; -2 \right)$ làm VTCP, $\Delta $ luôn cắt $\left( P \right)$, gọi $\varphi $ là góc giữa $\Delta $ và $\left( P \right)$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $\left( P \right)$.
Ta có $\sin \varphi = \left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}}, \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right) \right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\Delta MNH\ $ vuông tại $H$ $\Rightarrow MN.\sin \varphi = MH$ $\Rightarrow MN = \dfrac{MH}{\sin \varphi }\ =\ \sqrt{3}. MH$
$MH=d\left( M, \left( P \right) \right)\le R + d\left( I, \left( P \right) \right)=5\ + 3\sqrt{3}, \forall M\in \left( S \right)$ $\Rightarrow MN = \sqrt{3}MH\ \le \ 9+ 5\sqrt{3}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $MN$ bằng $9 + 5\sqrt{3}.$
Đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $M, N$ nhận $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1; 2; -2 \right)$ làm VTCP, $\Delta $ luôn cắt $\left( P \right)$, gọi $\varphi $ là góc giữa $\Delta $ và $\left( P \right)$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $\left( P \right)$.
Ta có $\sin \varphi = \left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}}, \overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right) \right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\Delta MNH\ $ vuông tại $H$ $\Rightarrow MN.\sin \varphi = MH$ $\Rightarrow MN = \dfrac{MH}{\sin \varphi }\ =\ \sqrt{3}. MH$
$MH=d\left( M, \left( P \right) \right)\le R + d\left( I, \left( P \right) \right)=5\ + 3\sqrt{3}, \forall M\in \left( S \right)$ $\Rightarrow MN = \sqrt{3}MH\ \le \ 9+ 5\sqrt{3}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $MN$ bằng $9 + 5\sqrt{3}.$
Đáp án A.