Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2y-6z+7=0$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-6y-10z+11=0$. Trong tất cả các đường thẳng cùng tiếp xúc với cả hai mặt cầu này luôn tồn tại đường thẳng d cách $A\left( 3;1;-1 \right)$ một khoảng nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng
A. $\dfrac{5}{\sqrt{3}}$
B. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
C. $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$
D. $\dfrac{9\sqrt{3}}{5}$
A. $\dfrac{5}{\sqrt{3}}$
B. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
C. $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$
D. $\dfrac{9\sqrt{3}}{5}$
Đầu tiên, ta xét vị trí tương đối của hai mặt cầu
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 0;1;3 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{3}$
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;3;5 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=3\sqrt{3}$
Ta có ${{I}_{1}}{{I}_{2}}=2\sqrt{3}={{R}_{2}}-{{R}_{1}}$. Suy ra hai mặt cầu tiếp xúc trong. Tức là luôn tồn tại duy nhất điểm M nằm trên $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$.
Dễ dàng thấy được ${{I}_{2}}{{I}_{1}}=2{{I}_{1}}M\Rightarrow \overrightarrow{{{I}_{2}}{{I}_{1}}}=2\overrightarrow{{{I}_{1}}M}\Rightarrow M\left( -1;0;2 \right)$
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu tại M. Khi đó $\left( P \right)\supset d$ đồng thời nhận vecto $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}$ làm VTPT.
Mặt phẳng (P) qua $M\left( -1;0;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( -2;-2;-2 \right)=-2\left( 1;1;1 \right)$ làm VTPT nên có phương trình $x+y+z-1=0$
Vì (P) cố định và d thay đổi trên (P) nên $d\left( A,d \right)\ge d\left( A,\left( P \right) \right)$
Vậy $d{{\left( A,d \right)}_{\min }}\Leftrightarrow d\left( A,d \right)=d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3+1-1-1 \right|}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 0;1;3 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=\sqrt{3}$
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( 2;3;5 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=3\sqrt{3}$
Dễ dàng thấy được ${{I}_{2}}{{I}_{1}}=2{{I}_{1}}M\Rightarrow \overrightarrow{{{I}_{2}}{{I}_{1}}}=2\overrightarrow{{{I}_{1}}M}\Rightarrow M\left( -1;0;2 \right)$
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu tại M. Khi đó $\left( P \right)\supset d$ đồng thời nhận vecto $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}$ làm VTPT.
Mặt phẳng (P) qua $M\left( -1;0;2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( -2;-2;-2 \right)=-2\left( 1;1;1 \right)$ làm VTPT nên có phương trình $x+y+z-1=0$
Vì (P) cố định và d thay đổi trên (P) nên $d\left( A,d \right)\ge d\left( A,\left( P \right) \right)$
Vậy $d{{\left( A,d \right)}_{\min }}\Leftrightarrow d\left( A,d \right)=d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3+1-1-1 \right|}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Đáp án B.