Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=32,\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$ và mặt phẳng $\left( P \right):my+10z-10m=0$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho trên mặt phẳng $\left( P \right)$ dựng được đúng hai tiếp tuyến chung phân biệt của $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ ?
A. 9.
B. 11.
C. 8.
D. Vô số.
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=4\sqrt{2}$ ; mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $I\left( 7;0;0 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=5.$
Dễ thấy: Trục Ox có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 0;m;10 \right)$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{n}=0$ nên $Ox\parallel \left( P \right)$ (trục Ox chứa cả hai tâm O và I).
Do đó để trên mặt phẳng (P) có hai tiếp tuyến chung phân biệt với $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ thì xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1. $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right)$
$\Leftrightarrow d\left( O,\left( P \right) \right)={{R}_{2}}=5\Leftrightarrow \dfrac{\left| m.0+10.0-10m \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{10}^{2}}}}=5\Leftrightarrow \dfrac{\left| 10m \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+100}}=5$
$\Leftrightarrow 100{{m}^{2}}=25\left( {{m}^{2}}+100 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{100}{3}\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{10}{\sqrt{3}}$ (loại vì m nguyên).
Trường hợp 2. $\left( P \right)$ cắt $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ theo hai đường tròn cắt nhau
$\Leftrightarrow d\left( Ox,\left( P \right) \right)<4\Leftrightarrow d\left( O,\left( P \right) \right)<4\Leftrightarrow \dfrac{\left| 10m \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+100}}<4\Leftrightarrow 100{{m}^{2}}<16\left( {{m}^{2}}+100 \right)$
$\Leftrightarrow -\dfrac{20}{\sqrt{21}}\le m\le \dfrac{20}{\sqrt{21}}$, do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -4;-3;...;3;4 \right\}.$
Vậy có tất cả 9 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. 9.
B. 11.
C. 8.
D. Vô số.
Dễ thấy: Trục Ox có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 0;m;10 \right)$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{n}=0$ nên $Ox\parallel \left( P \right)$ (trục Ox chứa cả hai tâm O và I).
Do đó để trên mặt phẳng (P) có hai tiếp tuyến chung phân biệt với $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ thì xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1. $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right)$
$\Leftrightarrow d\left( O,\left( P \right) \right)={{R}_{2}}=5\Leftrightarrow \dfrac{\left| m.0+10.0-10m \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{10}^{2}}}}=5\Leftrightarrow \dfrac{\left| 10m \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+100}}=5$
$\Leftrightarrow 100{{m}^{2}}=25\left( {{m}^{2}}+100 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{100}{3}\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{10}{\sqrt{3}}$ (loại vì m nguyên).
Trường hợp 2. $\left( P \right)$ cắt $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ theo hai đường tròn cắt nhau
$\Leftrightarrow d\left( Ox,\left( P \right) \right)<4\Leftrightarrow d\left( O,\left( P \right) \right)<4\Leftrightarrow \dfrac{\left| 10m \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+100}}<4\Leftrightarrow 100{{m}^{2}}<16\left( {{m}^{2}}+100 \right)$
$\Leftrightarrow -\dfrac{20}{\sqrt{21}}\le m\le \dfrac{20}{\sqrt{21}}$, do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -4;-3;...;3;4 \right\}.$
Vậy có tất cả 9 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.