Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ có phương trình lần lượt là $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$, $\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng 1 và có tâm I, biết $\left( S \right)$ tiếp xúc ngoài với hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$. Hỏi khoảng cách từ gốc O đến điểm I lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. $\dfrac{13}{5}$
B. $2+\sqrt{2}$
C. $\dfrac{16}{5}$
D. $\dfrac{24}{5}$
A. $\dfrac{13}{5}$
B. $2+\sqrt{2}$
C. $\dfrac{16}{5}$
D. $\dfrac{24}{5}$
Gọi $I\left( x;y;z \right)$
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $A\left( 0;3;0 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=2$
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $B\left( -4;0;0 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=3$
Do $\left( S \right)$ tiếp xúc ngoài với hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IA=2+1=3 \\
& IB=3+1=4 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& I{{A}^{2}}=9 \\
& I{{B}^{2}}=16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9\left( 1 \right) \\
& {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Lấy $\left( 1 \right)-\left( 2 \right)$ ta được $-8x-6y-7=-7\Leftrightarrow 4x+3y=0\left( P \right)$
Do đó điểm I thuộc giao tuyến của mặt cầu ${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ và mặt phẳng $4x+3y=0\left( P \right)$
Bán kính đường tròn là $r=\sqrt{9-{{d}^{2}}\left( A;\left( P \right) \right)}=\dfrac{12}{5}$, tâm đường tròn là hình chiếu vuông góc của $A\left( 0;3;0 \right)$ trên $\left( P \right)$ K
Ta có $OK:\left\{ \begin{aligned}
& x=4t \\
& y=3+3t,K\left( 4t;3+3t;0 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow 16t+3\left( 3t+3 \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-9}{25} \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$
Điểm $O\in \left( P \right)\Rightarrow O{{I}_{\max }}=OK+r=\sqrt{16{{t}^{2}}+{{\left( 3+3t \right)}^{2}}}+\dfrac{12}{5}=\dfrac{24}{5}.$
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $A\left( 0;3;0 \right)$ bán kính ${{R}_{1}}=2$
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $B\left( -4;0;0 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=3$
Do $\left( S \right)$ tiếp xúc ngoài với hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IA=2+1=3 \\
& IB=3+1=4 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& I{{A}^{2}}=9 \\
& I{{B}^{2}}=16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9\left( 1 \right) \\
& {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Lấy $\left( 1 \right)-\left( 2 \right)$ ta được $-8x-6y-7=-7\Leftrightarrow 4x+3y=0\left( P \right)$
Do đó điểm I thuộc giao tuyến của mặt cầu ${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ và mặt phẳng $4x+3y=0\left( P \right)$
Bán kính đường tròn là $r=\sqrt{9-{{d}^{2}}\left( A;\left( P \right) \right)}=\dfrac{12}{5}$, tâm đường tròn là hình chiếu vuông góc của $A\left( 0;3;0 \right)$ trên $\left( P \right)$ K
Ta có $OK:\left\{ \begin{aligned}
& x=4t \\
& y=3+3t,K\left( 4t;3+3t;0 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow 16t+3\left( 3t+3 \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-9}{25} \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$
Điểm $O\in \left( P \right)\Rightarrow O{{I}_{\max }}=OK+r=\sqrt{16{{t}^{2}}+{{\left( 3+3t \right)}^{2}}}+\dfrac{12}{5}=\dfrac{24}{5}.$
Đáp án D.