Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z}{1}$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+4t \\
& y=-1-2t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.$
A. $\dfrac{\sqrt{87}}{6}.$
B. $\dfrac{\sqrt{174}}{6}.$
C. $\dfrac{\sqrt{174}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{87}}{3}.$
& x=1+4t \\
& y=-1-2t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.$
A. $\dfrac{\sqrt{87}}{6}.$
B. $\dfrac{\sqrt{174}}{6}.$
C. $\dfrac{\sqrt{174}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{87}}{3}.$
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua điểm $M\left( 1;-2;0 \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-1;1 \right)$. Đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua điểm $N\left( 1;-1;2 \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 4;-2;2 \right).$
Do $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ cùng phương với $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ và $M\notin {{d}_{2}}$ nên ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$, từ đó
Suy ra $\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{MN} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+1}}=\dfrac{\sqrt{174}}{6}.$ Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\sqrt{174}}{6}.$
Do $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ cùng phương với $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ và $M\notin {{d}_{2}}$ nên ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$, từ đó
$d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=d\left( N,{{d}_{1}} \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{MN} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}.$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( 0;1;2 \right),\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{MN} \right]=\left( -3;-4;2 \right).$ Suy ra $\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{MN} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+1}}=\dfrac{\sqrt{174}}{6}.$ Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\sqrt{174}}{6}.$
Đáp án B.