Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=2t \\
& y=t \\
& z=4 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3-{t}' \\
& y={t}' \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right. $. Viết phương trình mặt cầu $ (S) $ có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}}$.
A. $(S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=4$
B. $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16$
C. $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4$
D. $(S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=16$
& x=2t \\
& y=t \\
& z=4 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3-{t}' \\
& y={t}' \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right. $. Viết phương trình mặt cầu $ (S) $ có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}}$.
A. $(S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=4$
B. $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16$
C. $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4$
D. $(S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=16$
Kí hiệu như hình vẽ, gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I xuống hai đường thẳng ${{d}_{1}};{{d}_{2}}$. Suy ra $IM=IN=R$.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;1;0)$. Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-1;1;0)$.
Ta có $IM+IN\ge MN\Leftrightarrow R\ge \dfrac{MN}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi I; M; N thẳng hàng. Tương đương với tâm I của mặt cầu $(S)$ nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$, đồng thời I cũng là trung điểm của đoạn vuông góc chung đó.
Theo đề bài ta có $M(2t;t;4);N(3-{t}';{t}';0)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(3-{t}'-2t;{t}'-t;-4)$.
Để MN là đoạn vuông góc chung $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& (3-{t}'-2t).2+({t}'-t).1=0 \\
& (3-{t}'-2t).(-1)+({t}'-t).1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{t}'-5t=-6 \\
& 2{t}'+t=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& {t}'=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M(2;1;4) \\
& N(2;1;0) \\
& I(2;1;2) \\
\end{aligned} \right.$
Và $R=IM=2$.
Vậy $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4$.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;1;0)$. Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-1;1;0)$.
Ta có $IM+IN\ge MN\Leftrightarrow R\ge \dfrac{MN}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi I; M; N thẳng hàng. Tương đương với tâm I của mặt cầu $(S)$ nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$, đồng thời I cũng là trung điểm của đoạn vuông góc chung đó.
Theo đề bài ta có $M(2t;t;4);N(3-{t}';{t}';0)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(3-{t}'-2t;{t}'-t;-4)$.
Để MN là đoạn vuông góc chung $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& (3-{t}'-2t).2+({t}'-t).1=0 \\
& (3-{t}'-2t).(-1)+({t}'-t).1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{t}'-5t=-6 \\
& 2{t}'+t=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& {t}'=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M(2;1;4) \\
& N(2;1;0) \\
& I(2;1;2) \\
\end{aligned} \right.$
Và $R=IM=2$.
Vậy $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4$.
Đáp án C.