Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{1},

d_{2} : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 6}{- 5},

gọi A là giao điểm của

d_{1}

và

d_{2};

d là đường thẳng qua điểm

M (2; 3; 1)

cắt

d_{1}, d_{2}

lần lượt tại B, C sao cho

B C = \sqrt{6} A B .

Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d, biết rằng d không song song với mặt phẳng

(O x z)

A.

\frac{\sqrt{10}}{5} .

B.

\frac{\sqrt{10}}{3} .

C.

\sqrt{13} .

D.

\sqrt{10} .

HD: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

{\begin{aligned} \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{1} \\ \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 6}{- 5} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = z \\ 2 x - y = 1 \\ - 5 x - z = - 6 \end{aligned}

\Leftrightarrow x = y = z = 1 \Rightarrow d_{1} \cap d_{2} = A (1; 1; 1), \vec{n_{(A B C)}} = [\vec{u_{d_{1}}}; \vec{u_{d_{2}}}] = - 6 (2; - 1; 0)

Lại có

\vec{u_{d_{1}}} . \vec{u_{d_{2}}} = 1 + 4 - 5 = 0 \Rightarrow d_{1} ⊥ d_{2}

tại

A \Rightarrow Δ A B C

vuông tại A.

\Rightarrow \cos \hat{A B C} = \cos \hat{(d_{1}; d_{2})} = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{\sqrt{6}}

Gọi

\vec{u_{d}} = (A; B; C) (A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0),

do

d \subset (A B C) \Rightarrow \vec{u_{d}} . \vec{n_{(A B C)}} = 0 \Leftrightarrow 2 A - B = 0

Mặt khác

\cos \hat{(d; d_{1})} = | \cos (\vec{u_{d}}; \vec{u_{d_{1}}}) | = \frac{| A + 2 B + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} . \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}

\Leftrightarrow {(5 A + C)}^{2} = 5 A^{2} + C^{2} \Leftrightarrow 20 A^{2} + 10 A C = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} A = 0 \\ 2 A = - C \end{aligned}

Với

A = 0 \Rightarrow B = 0

chọn

C = 1 \Rightarrow \vec{u_{d}} = (0; 0; 1) \Rightarrow d / / (O x z)

(loại)
Với

2 A = - C

chọn

A = 1 \Rightarrow C = - 2, B = 2 \Rightarrow \vec{u_{d}} = (1; 2; - 2)

Khi đó

d (O; d) = \frac{| [\vec{O M}; \vec{u_{d}}] |}{| \vec{u_{d}} |} = \sqrt{10} .

Đáp án D.