Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng...

HD: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{1} \\
& \dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-6}{-5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=z \\
& 2x-y=1 \\
& -5x-z=-6 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow x=y=z=1\Rightarrow {{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}=A\left( 1;1;1 \right),\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]=-6\left( 2;-1;0 \right)$
Lại có $\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=1+4-5=0\Rightarrow {{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}$ tại $A\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A.
$\Rightarrow \cos \widehat{ABC}=\cos \widehat{\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$
Gọi $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( A;B;C \right)\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}>0 \right),$ do $d\subset \left( ABC \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}=0\Leftrightarrow 2A-B=0$
Mặt khác $\cos \widehat{\left( d;{{d}_{1}} \right)}=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}} \right) \right|=\dfrac{\left| A+2B+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$
$\Leftrightarrow {{\left( 5A+C \right)}^{2}}=5{{A}^{2}}+{{C}^{2}}\Leftrightarrow 20{{A}^{2}}+10AC=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& A=0 \\
& 2A=-C \\
\end{aligned} \right.$
Với $A=0\Rightarrow B=0$ chọn $C=1\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow d//\left( Oxz \right)$ (loại)
Với $2A=-C$ chọn $A=1\Rightarrow C=-2,B=2\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-2 \right)$
Khi đó $d\left( O;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\sqrt{10}.$