Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;5;0),B(3;3;6)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=1-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right.$. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm M và chu vi tam giác MAB là
A. $M(1;0;2);P=2\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)$
B. $M(1;2;2);P=2\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)$
C. $M(1;0;2);P=\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)$
D. $M(1;2;2);P=\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)$
& x=-1+2t \\
& y=1-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right.$. Một điểm M thay đổi trên đường thẳng d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm M và chu vi tam giác MAB là
A. $M(1;0;2);P=2\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)$
B. $M(1;2;2);P=2\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)$
C. $M(1;0;2);P=\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)$
D. $M(1;2;2);P=\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)$
Độ dài $AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{6}^{2}}}=2\sqrt{11}$.
Chu vi tam giác MAB nhỏ nhất khi $MA+MB$ nhỏ nhất (do AB không đổi)
Do $M\in d$ nên $M(-1+2\text{a};1-a;2\text{a})$
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(2\text{a}-2;-4-a;2\text{a});\overrightarrow{BM}=(4-2\text{a};2+a;6-2a)$
Khi đó $MA+MB=\sqrt{{{(2\text{a}-2)}^{2}}+{{(4+a)}^{2}}+4{{\text{a}}^{2}}}+\sqrt{{{(4-2\text{a})}^{2}}+{{(2+a)}^{2}}+{{(2\text{a}-6)}^{2}}}$
$MA+MB=\sqrt{9{{\text{a}}^{2}}+20}+\sqrt{9{{\text{a}}^{2}}-36\text{a}+56}=\sqrt{{{(3\text{a})}^{2}}+{{\left( \sqrt{20} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{(6-3\text{a})}^{2}}+{{\left( \sqrt{20} \right)}^{2}}}$
Với $\overrightarrow{u}=(3\text{a};\sqrt{20})$ và $\vec{v}=(6-3\text{a};\sqrt{20})$ thì ta có $\left| \vec{u}+\vec{v} \right|=(6;2\sqrt{20})$.
Khi đó $MA+MB=\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|=\sqrt{{{6}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{20} \right)}^{2}}}=2\sqrt{29}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{3\text{a}}{6-3\text{a}}=\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{20}}=1\Rightarrow a=1\Rightarrow M(1;0;2);P=2\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)$.
Chu vi tam giác MAB nhỏ nhất khi $MA+MB$ nhỏ nhất (do AB không đổi)
Do $M\in d$ nên $M(-1+2\text{a};1-a;2\text{a})$
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(2\text{a}-2;-4-a;2\text{a});\overrightarrow{BM}=(4-2\text{a};2+a;6-2a)$
Khi đó $MA+MB=\sqrt{{{(2\text{a}-2)}^{2}}+{{(4+a)}^{2}}+4{{\text{a}}^{2}}}+\sqrt{{{(4-2\text{a})}^{2}}+{{(2+a)}^{2}}+{{(2\text{a}-6)}^{2}}}$
$MA+MB=\sqrt{9{{\text{a}}^{2}}+20}+\sqrt{9{{\text{a}}^{2}}-36\text{a}+56}=\sqrt{{{(3\text{a})}^{2}}+{{\left( \sqrt{20} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{(6-3\text{a})}^{2}}+{{\left( \sqrt{20} \right)}^{2}}}$
Với $\overrightarrow{u}=(3\text{a};\sqrt{20})$ và $\vec{v}=(6-3\text{a};\sqrt{20})$ thì ta có $\left| \vec{u}+\vec{v} \right|=(6;2\sqrt{20})$.
Khi đó $MA+MB=\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|=\sqrt{{{6}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{20} \right)}^{2}}}=2\sqrt{29}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{3\text{a}}{6-3\text{a}}=\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{20}}=1\Rightarrow a=1\Rightarrow M(1;0;2);P=2\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)$.
Đáp án A.