Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M\left( 0; 3...

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN và HK
Khi đó $I\left( 1; 2; -1 \right)$
Ta có $MH=NK, HJ=KJ, \widehat{MHJ}=\widehat{NKJ}=90{}^\circ $ nên $\Delta MHJ=\Delta NKJ\Rightarrow MJ=NJ$
$\Rightarrow \Delta MJN$ cân tại J => IJ là trung trực của MN
=> Trung điểm J của HK luôn thuộc mặt phẳng (Q) cố định là mặt phẳng trung trực của MN.
Gọi $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\Rightarrow J\in d$ và d cố định
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( 2; -2; -1 \right)$ và $MN\bot \left( Q \right)$ nên mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 2; -2; -1 \right)$
Mặt phẳng (Q) có phương trình:
$2\left( x-1 \right)-2\left( y-2 \right)-\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow 2x-2y-z+1=0$
Do $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$ nên phương trình đường thẳng d là
$\left\{ \begin{aligned}
& x-y-z-3=0 \\
& 2x-2y-z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x-2y-2z-6=0 \\
& 2x-2y-z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& z+7=0 \\
& x-y-z-3=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-y=-4 \\
& z=-7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-3-t \\
& y=1-t \\
& z=-7 \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right)$