Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho hai điểm $A\left( 7 ; 9 ; 0 \right)$, $B\left( 0 ; 8 ; 0 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=25$. Với $M$ là một điểm bất kì thuộc mặt cầu $\left( S \right)$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=MA+2MB$ bằng
A. $5\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$.
C. $5\sqrt{5}$.
D. $10$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1 ; 1 ; 0 \right)$ và bán kính $R=5$. Dễ thấy $I,A,B$ đều nằm trên mặt phẳng $z=0$, tức mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Ta có $\overrightarrow{IC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{IA}=\left( \dfrac{3}{2} ; 2 ; 0 \right)$ hay $C\left( \dfrac{5}{2} ; 3 ; 0 \right)$.
Mặt khác, do $IA=10=2R$ nên $\dfrac{IM}{IC}=\dfrac{IA}{IM}=2$ nên hai tam giác $IMC$ và $IAM$ đồng dạng, kéo theo $\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{IA}{\operatorname{I}M}=2$. Lại có $IB=5\sqrt{2}>R$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$, do đó
$P=MA+2MB=2\left( MC+MB \right)\ge 2BC=5\sqrt{5}.$
Đẳng thức xảy ra khi $M$ trùng ${{M}_{0}}$ là giao điểm của đoạn $BC$ với mặt cầu $\left( S \right)$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $5\sqrt{5}$.
A. $5\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$.
C. $5\sqrt{5}$.
D. $10$.
Mặt khác, do $IA=10=2R$ nên $\dfrac{IM}{IC}=\dfrac{IA}{IM}=2$ nên hai tam giác $IMC$ và $IAM$ đồng dạng, kéo theo $\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{IA}{\operatorname{I}M}=2$. Lại có $IB=5\sqrt{2}>R$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$, do đó
$P=MA+2MB=2\left( MC+MB \right)\ge 2BC=5\sqrt{5}.$
Đẳng thức xảy ra khi $M$ trùng ${{M}_{0}}$ là giao điểm của đoạn $BC$ với mặt cầu $\left( S \right)$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $5\sqrt{5}$.
Đáp án C.