Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 4;6;2 \right)$ và $B\left( 2;-2;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z=0$. Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P) và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Bán kính R của đường tròn đó là
A. $R=1$
B. $R=\sqrt{6}$
C. $R=\sqrt{3}$
D. $R=2$
A. $R=1$
B. $R=\sqrt{6}$
C. $R=\sqrt{3}$
D. $R=2$
Gọi I là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left( 3;2;1 \right)$
$d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3+2+1 \right|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$
Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm $I\left( 3;2;1 \right)$ và bán kính ${R}'=\dfrac{AB}{2}=3\sqrt{2}$
Ta có $H\in \left( S \right)$
Mặt khác $H\in \left( P \right)$ nên $H\in \left( C \right)=\left( S \right)\cap \left( P \right)$
Bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ là $R=\sqrt{{{{{R}'}}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$
$d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 3+2+1 \right|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$
Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm $I\left( 3;2;1 \right)$ và bán kính ${R}'=\dfrac{AB}{2}=3\sqrt{2}$
Ta có $H\in \left( S \right)$
Mặt khác $H\in \left( P \right)$ nên $H\in \left( C \right)=\left( S \right)\cap \left( P \right)$
Bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ là $R=\sqrt{{{{{R}'}}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;\left( P \right) \right)}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$
Đáp án B.