Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left( 0;1;2...

Giả sử $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0 \right)\left( * \right)$ là mặt phẳng cần tìm.
Theo giả thiết $A,M\in \left( P \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& B+2C+D=0 \\
& -A+B+D=0 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Theo giả thiết $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right)\cap \left( \alpha \right)=\Delta \\
& \Delta \bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right] \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{AM}=0 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( A;B;C \right) \\
& \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;-1;0 \right) \\
& \overrightarrow{AM}=\left( -1;0;-2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( C;C;-A-B \right) \\
& \overrightarrow{AM}=\left( -1;0;-2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{AM}=0\Rightarrow -C+2\left( A+B \right)=0\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=-2C \\
& B=\dfrac{5}{2}C \\
& D=-\dfrac{9}{2}C \\
\end{aligned} \right.\left( 3 \right)$
Thế (3) vào (*) ta được: $-2Cx+\dfrac{5}{2}Cy+Cz-\dfrac{9}{2}C=0\Leftrightarrow 4x-5y-2z+9=0$.