Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{2-z}{1}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $\left( Q \right):2x-y-2z-2=0$ một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm $A\left( 1;2;3 \right)$ cách mặt phẳng $\left( P \right)$ một khoảng bằng:
A. $\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{7\sqrt{11}}{11}$.
D. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
$d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{2-z}{1}$ có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 1;-2;-1 \right)$.
$\left( Q \right):2x-y-2z-2=0$ có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;-2 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi $d$ và $\left( Q \right)$, ta có $\sin \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right) \right|=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Từ hình vẽ, ta có $\left( d,\left( P \right) \right)=\widehat{MBH}$ và $\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\widehat{MCH}$.
Ta thấy $\sin \widehat{MCH}=\dfrac{MH}{MC}\ge \dfrac{MH}{MB}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Vậy góc $\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\widehat{MCH}$ nhỏ nhất khi $\sin \widehat{MCH}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ hay $\cos \widehat{MCH}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
*Viết phương trình mặt phẳng
-CÁCH 1:
Mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}.\overrightarrow{u}=0 \\
& \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A-2B-C=0 \\
& \dfrac{\left| 2A-B-2C \right|}{3\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=2B+C \\
& \left| 3B \right|=\sqrt{3{{\left( 2B+C \right)}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=2B+C \\
& 6{{B}^{2}}+6{{C}^{2}}+12BC=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $B=0$ suy ra $A=C=0$ loại.
Nếu $B\ne 0$ từ $\left( 1 \right)$ suy ra ${{\left( \dfrac{C}{B} \right)}^{2}}+2\dfrac{C}{B}+1=0\Leftrightarrow \dfrac{C}{B}=-1\Rightarrow C=-B$ suy ra $A=B$.
Mặt phẳng $\left( P \right):Bx+By-Bz+D=0$ đi qua điểm $N\left( 0;-1;2 \right)\in d$ suy ra $D=3B$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+3=0$. Suy ra $d\left( A;\left( P \right) \right)=\sqrt{3}$.
-CÁCH 2
Gọi $\Delta =(P)\cap (Q)$ thì góc giữa $(P)$ và $(Q)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\Delta \bot d$. Do đó, mặt phẳng thỏa đề bài là mặt phẳng chứa $d$ và cắt theo giao tuyến $\Delta $ sao cho $\Delta \bot d$.
$\centerdot \left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset (Q) \\
& \Delta \bot d \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta $nhận $ \overrightarrow{\mathrm{u}}_{\Delta}=\left[\vec{u}_d, \vec{n}_Q\right]$ làm vec tơ chỉ phương.
$\centerdot (Q)$ chứa $d$ và $\Delta $ $\Rightarrow (P)$ qua $M(0;-1;2)\in d$ và nhận $\vec{n}=\left[ {{{\vec{u}}}_{d}},{{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right]=(6;6;-6)$ làm vectơ
pháp tuyến $\Rightarrow .$ Vậy $d\left( A;\left( P \right) \right)=\sqrt{3}$.
A. $\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{7\sqrt{11}}{11}$.
D. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
$\left( Q \right):2x-y-2z-2=0$ có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;-2 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi $d$ và $\left( Q \right)$, ta có $\sin \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right) \right|=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Từ hình vẽ, ta có $\left( d,\left( P \right) \right)=\widehat{MBH}$ và $\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\widehat{MCH}$.
Ta thấy $\sin \widehat{MCH}=\dfrac{MH}{MC}\ge \dfrac{MH}{MB}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
Vậy góc $\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\widehat{MCH}$ nhỏ nhất khi $\sin \widehat{MCH}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ hay $\cos \widehat{MCH}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
*Viết phương trình mặt phẳng
-CÁCH 1:
Mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}.\overrightarrow{u}=0 \\
& \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A-2B-C=0 \\
& \dfrac{\left| 2A-B-2C \right|}{3\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=2B+C \\
& \left| 3B \right|=\sqrt{3{{\left( 2B+C \right)}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=2B+C \\
& 6{{B}^{2}}+6{{C}^{2}}+12BC=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $B=0$ suy ra $A=C=0$ loại.
Nếu $B\ne 0$ từ $\left( 1 \right)$ suy ra ${{\left( \dfrac{C}{B} \right)}^{2}}+2\dfrac{C}{B}+1=0\Leftrightarrow \dfrac{C}{B}=-1\Rightarrow C=-B$ suy ra $A=B$.
Mặt phẳng $\left( P \right):Bx+By-Bz+D=0$ đi qua điểm $N\left( 0;-1;2 \right)\in d$ suy ra $D=3B$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+3=0$. Suy ra $d\left( A;\left( P \right) \right)=\sqrt{3}$.
-CÁCH 2
Gọi $\Delta =(P)\cap (Q)$ thì góc giữa $(P)$ và $(Q)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\Delta \bot d$. Do đó, mặt phẳng thỏa đề bài là mặt phẳng chứa $d$ và cắt theo giao tuyến $\Delta $ sao cho $\Delta \bot d$.
$\centerdot \left\{ \begin{aligned}
& \Delta \subset (Q) \\
& \Delta \bot d \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta $nhận $ \overrightarrow{\mathrm{u}}_{\Delta}=\left[\vec{u}_d, \vec{n}_Q\right]$ làm vec tơ chỉ phương.
$\centerdot (Q)$ chứa $d$ và $\Delta $ $\Rightarrow (P)$ qua $M(0;-1;2)\in d$ và nhận $\vec{n}=\left[ {{{\vec{u}}}_{d}},{{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right]=(6;6;-6)$ làm vectơ
pháp tuyến $\Rightarrow .$ Vậy $d\left( A;\left( P \right) \right)=\sqrt{3}$.
Đáp án A.