Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng...

Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \bot d \\
& \Delta \subset \left( \alpha \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{a}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{a}_{d}}} \\
& \overrightarrow{{{a}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta $có 1 VTCP $ \overrightarrow{{{a}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{a}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}} \right]=\left( 0;1;-1 \right).$
Hạ $AH\bot \left( \alpha \right),AK\bot \Delta .$ Khi đó $AK=d\left( A,\Delta \right).$
Gọi ${{d}_{1}}$ là đường thẳng qua $A\left( -5;-2;-2 \right)$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$
Suy ra ${{d}_{1}}:\dfrac{x+5}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z+2}{2}.$
Vì H là hình chiếu của A lên $\left( \alpha \right)$ nên $H={{d}_{1}}\cap \left( \alpha \right).$ Khi đó $H\left( -3;2;2 \right).$
Tam giác AHK vuông tại H có AH không đổi nên $AK\ge AH.$
Suy ra $A{{K}_{\min }}\Leftrightarrow AK=AH$ hay $K\equiv H.$
Như vậy qua $H\left( -3;2;2 \right)$ và có 1 VTCP là $\overrightarrow{{{a}_{\Delta }}}=\left( 0;1;-1 \right)$. Vậy $M\left( -3;2;2 \right)\in \Delta $