Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và hai điểm $A\left( -1;3;1 \right), B\left( 0;2;-1 \right)$. Gọi C là điểm thuộc d sao cho diện tích S của tam giác ABC là nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${{S}_{\min }}=\sqrt{2}$
B. ${{S}_{\min }}=4\sqrt{2}$
C. ${{S}_{\min }}=2\sqrt{2}$
D. ${{S}_{\min }}=1$
A. ${{S}_{\min }}=\sqrt{2}$
B. ${{S}_{\min }}=4\sqrt{2}$
C. ${{S}_{\min }}=2\sqrt{2}$
D. ${{S}_{\min }}=1$
$C\in d\Rightarrow C\left( 2t-1;t;-t+2 \right).\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;-2 \right);\overrightarrow{AC}=\left( 2t;t-3;-t+1 \right)$
Ta có $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 3t-7;-3t-1;3t-3 \right)$
Diện tích tam giác ABC là $S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{27{{t}^{2}}-54t+59}$
$\Leftrightarrow 4{{S}^{2}}=27{{t}^{2}}-54t+59\Leftrightarrow 4{{S}^{2}}=27{{\left( t-1 \right)}^{2}}+32\ge 32\Leftrightarrow {{S}^{2}}\ge 8\Leftrightarrow S\ge 2\sqrt{2}$
Vậy ${{S}_{\min }}=2\sqrt{2}$, đạt được khi $t=1$. Tức là $C\left( 1;1;1 \right)$
Ta có $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 3t-7;-3t-1;3t-3 \right)$
Diện tích tam giác ABC là $S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{27{{t}^{2}}-54t+59}$
$\Leftrightarrow 4{{S}^{2}}=27{{t}^{2}}-54t+59\Leftrightarrow 4{{S}^{2}}=27{{\left( t-1 \right)}^{2}}+32\ge 32\Leftrightarrow {{S}^{2}}\ge 8\Leftrightarrow S\ge 2\sqrt{2}$
Vậy ${{S}_{\min }}=2\sqrt{2}$, đạt được khi $t=1$. Tức là $C\left( 1;1;1 \right)$
Đáp án C.