Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-3}{3}$ và hai điểm $A\left( 2;0;3 \right),B\left( 2;-2;-3 \right)$. Biết điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thuộc d thỏa mãn $P=M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}+M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất. Khi đó ${{y}_{0}}$ bằng:
A. ${{y}_{0}}=3.$
B. ${{y}_{0}}=2.$
C. ${{y}_{0}}=1.$
D. ${{y}_{0}}=-1.$
A. ${{y}_{0}}=3.$
B. ${{y}_{0}}=2.$
C. ${{y}_{0}}=1.$
D. ${{y}_{0}}=-1.$
Vì $M\in d$ nên $M\left( t+3;2t+1;3t+3 \right)$.
Suy ra $\begin{aligned}
& \overrightarrow{MA}=\left( -t-1;-2t-1;-3t \right),\ \overrightarrow{MB}=\left( -t-1;-2t-3;-3t-6 \right). \\
& M{{A}^{2}}={{\left( t+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}+9{{t}^{2}}=14{{t}^{2}}+6t+2\ \ \left( 1 \right). \\
& M{{B}^{2}}={{\left( t+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+3 \right)}^{2}}+{{\left( 3t+6 \right)}^{2}}=14{{t}^{2}}+50t+46\ \ \left( 2 \right). \\
\end{aligned}$
Ta có $P=M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}+M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}={{\left( M{{B}^{2}}-M{{A}^{2}} \right)}^{2}}+3M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}$.
Thay (1) và (2) vào P ta được:
$\begin{aligned}
& P={{\left( 44t+44 \right)}^{2}}+3\left( 14{{t}^{2}}+6t+2 \right)\left( 14{{t}^{2}}+50t+46 \right) \\
& \ \ \ ={{44}^{2}}{{\left( t+1 \right)}^{2}}+3\left[ 14{{\left( t+1 \right)}^{2}}+10-22\left( t+1 \right) \right]\left[ 14{{\left( t+1 \right)}^{2}}+10+22\left( t+1 \right) \right] \\
& \ \ \ =1936{{\left( t+1 \right)}^{2}}+4\left\{ {{\left[ 14{{\left( t+1 \right)}^{2}}+10 \right]}^{2}}-{{22}^{2}}{{\left( t+1 \right)}^{2}} \right\} \\
& \ \ \ =1936{{\left( t+1 \right)}^{2}}+3\left[ 196{{\left( t+1 \right)}^{4}}+280{{\left( t+1 \right)}^{2}}+100-484{{\left( t+1 \right)}^{2}} \right] \\
& \ \ \ =588{{\left( t+1 \right)}^{4}}+1324{{\left( t+1 \right)}^{2}}+300. \\
\end{aligned}$
Đặt $u={{\left( t+1 \right)}^{2}},u\ge 0\Rightarrow P=588{{u}^{2}}+1324u+300,\ u\ge 0$.
Xét hàm số $f\left( u \right)=588{{u}^{2}}+1324u+300,\ u\ge 0$ có $f'\left( u \right)=1176u+1324>0,\ \forall u\ge 0$ cho nên $f\left( u \right)\ge f\left( 0 \right),\ \forall u\ge 0$. Ta được ${{P}_{\min }}=f\left( 0 \right)=300$ khi $u=0\Rightarrow t+1=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=2.\left( -1 \right)+1=-1$. Vậy ${{y}_{0}}=-1.$
Suy ra $\begin{aligned}
& \overrightarrow{MA}=\left( -t-1;-2t-1;-3t \right),\ \overrightarrow{MB}=\left( -t-1;-2t-3;-3t-6 \right). \\
& M{{A}^{2}}={{\left( t+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}+9{{t}^{2}}=14{{t}^{2}}+6t+2\ \ \left( 1 \right). \\
& M{{B}^{2}}={{\left( t+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+3 \right)}^{2}}+{{\left( 3t+6 \right)}^{2}}=14{{t}^{2}}+50t+46\ \ \left( 2 \right). \\
\end{aligned}$
Ta có $P=M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}+M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}={{\left( M{{B}^{2}}-M{{A}^{2}} \right)}^{2}}+3M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}$.
Thay (1) và (2) vào P ta được:
$\begin{aligned}
& P={{\left( 44t+44 \right)}^{2}}+3\left( 14{{t}^{2}}+6t+2 \right)\left( 14{{t}^{2}}+50t+46 \right) \\
& \ \ \ ={{44}^{2}}{{\left( t+1 \right)}^{2}}+3\left[ 14{{\left( t+1 \right)}^{2}}+10-22\left( t+1 \right) \right]\left[ 14{{\left( t+1 \right)}^{2}}+10+22\left( t+1 \right) \right] \\
& \ \ \ =1936{{\left( t+1 \right)}^{2}}+4\left\{ {{\left[ 14{{\left( t+1 \right)}^{2}}+10 \right]}^{2}}-{{22}^{2}}{{\left( t+1 \right)}^{2}} \right\} \\
& \ \ \ =1936{{\left( t+1 \right)}^{2}}+3\left[ 196{{\left( t+1 \right)}^{4}}+280{{\left( t+1 \right)}^{2}}+100-484{{\left( t+1 \right)}^{2}} \right] \\
& \ \ \ =588{{\left( t+1 \right)}^{4}}+1324{{\left( t+1 \right)}^{2}}+300. \\
\end{aligned}$
Đặt $u={{\left( t+1 \right)}^{2}},u\ge 0\Rightarrow P=588{{u}^{2}}+1324u+300,\ u\ge 0$.
Xét hàm số $f\left( u \right)=588{{u}^{2}}+1324u+300,\ u\ge 0$ có $f'\left( u \right)=1176u+1324>0,\ \forall u\ge 0$ cho nên $f\left( u \right)\ge f\left( 0 \right),\ \forall u\ge 0$. Ta được ${{P}_{\min }}=f\left( 0 \right)=300$ khi $u=0\Rightarrow t+1=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=2.\left( -1 \right)+1=-1$. Vậy ${{y}_{0}}=-1.$
Đáp án D.