Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{z-12}{-1}$ và mặt phẳng $\left( \!\!\alpha\!\! \right):x+2y-3z-3=0.$ Gọi M là giao điển của d với $\left( \!\!\alpha\!\! \right),$ A thuộc d và cách $\left( \!\!\alpha\!\! \right)$ một khoảng bằng 3. Tính độ dài đoạn thẳng AM.
A. $\dfrac{2\sqrt{14}}{3}.$
B. 3.
C. $2\sqrt{14}.$
D. $\sqrt{14}.$
A. $\dfrac{2\sqrt{14}}{3}.$
B. 3.
C. $2\sqrt{14}.$
D. $\sqrt{14}.$
Mặt phẳng $\left( \!\!\alpha\!\! \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;2;-3 \right);$ đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 2;2;-1 \right).$
Gọi $\!\!\varphi\!\!$ là góc giữa mặt phẳng $\left( \!\!\alpha\!\! \right)$ và đường thẳng d, H là hình chiếu của A trên $\left( \!\!\alpha\!\! \right).$ Ta có $AH=d\left( A,\left( \!\!\alpha\!\! \right) \right)=3$ (theo giả thiết) và $\sin \!\!\varphi\!\!=\sin \left( d,\left( \!\!\alpha\!\! \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{u} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{3}{\sqrt{14}}.$
Ta có: $\sin \!\!\varphi\!\!=\dfrac{AH}{AM}\Rightarrow AM=\dfrac{AH}{\sin \!\!\varphi\!\!}=\sqrt{14}.$
Gọi $\!\!\varphi\!\!$ là góc giữa mặt phẳng $\left( \!\!\alpha\!\! \right)$ và đường thẳng d, H là hình chiếu của A trên $\left( \!\!\alpha\!\! \right).$ Ta có $AH=d\left( A,\left( \!\!\alpha\!\! \right) \right)=3$ (theo giả thiết) và $\sin \!\!\varphi\!\!=\sin \left( d,\left( \!\!\alpha\!\! \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{u} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|}=\dfrac{3}{\sqrt{14}}.$
Đáp án D.