Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\left( \Delta \right):\dfrac{x-m}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+{{m}^{2}}}{1}$ và hai điểm $M\left( -1;4;1 \right),N\left( 3;-2;0 \right).$ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N lên (). Khối tứ diện HKMN có thể tích nhỏ nhất bằng
A. $\dfrac{9}{2}.$
B. $\dfrac{5\sqrt{3}}{4}.$
C. $\dfrac{55}{12}.$
D. $2\sqrt{5}.$
Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với () là $x-2y+z+8=0.$
Mặt phẳng (Q) qua N và vuông góc với () là $x-2y+z-7=0.$
Khi đó $HK=d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 8-\left( -7 \right) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{15\sqrt{6}}{6}.$
Đường thẳng () qua điểm $A\left( m;-1;-{{m}^{2}} \right)$ và có vetơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( 1;-2;1 \right).$
Đường thẳng (MN) qua điểm $M\left( -1;4;1 \right)$ và có vetơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}\left( 4;-6;-1 \right).$
Gọi là góc giữa hai đường thẳng () và (MN) khi đó
$\cos \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{MN} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{MN} \right|}=\dfrac{15}{\sqrt{6}.\sqrt{53}}\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{\dfrac{31}{106}}.$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng () và (MN) bằng
$d\left( \left( \Delta \right),\left( MN \right) \right)=\dfrac{\left[ \left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{MN} \right|.\overrightarrow{AM} \right]}{\left| \left[ \overrightarrow{u}.\overrightarrow{MN} \right] \right|}=\dfrac{\left| 2{{m}^{2}}-8m+19 \right|}{\sqrt{93}}=\dfrac{\left| 2{{\left( m-2 \right)}^{2}}+11 \right|}{\sqrt{93}}\ge \dfrac{11}{\sqrt{93}}.$
Do đó ${{V}_{HKMN}}=\dfrac{1}{6}.HK.MN.d\left( \left( HK \right),\left( MN \right) \right).\sin \alpha \ge \dfrac{1}{6}.\dfrac{15\sqrt{6}}{6}.\sqrt{53}.\dfrac{11\sqrt{93}}{93}.\sqrt{\dfrac{31}{106}}=\dfrac{55}{12}.$
A. $\dfrac{9}{2}.$
B. $\dfrac{5\sqrt{3}}{4}.$
C. $\dfrac{55}{12}.$
D. $2\sqrt{5}.$
Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với () là $x-2y+z+8=0.$
Mặt phẳng (Q) qua N và vuông góc với () là $x-2y+z-7=0.$
Khi đó $HK=d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 8-\left( -7 \right) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{15\sqrt{6}}{6}.$
Đường thẳng () qua điểm $A\left( m;-1;-{{m}^{2}} \right)$ và có vetơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( 1;-2;1 \right).$
Đường thẳng (MN) qua điểm $M\left( -1;4;1 \right)$ và có vetơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}\left( 4;-6;-1 \right).$
Gọi là góc giữa hai đường thẳng () và (MN) khi đó
$\cos \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{MN} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{MN} \right|}=\dfrac{15}{\sqrt{6}.\sqrt{53}}\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{\dfrac{31}{106}}.$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng () và (MN) bằng
$d\left( \left( \Delta \right),\left( MN \right) \right)=\dfrac{\left[ \left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{MN} \right|.\overrightarrow{AM} \right]}{\left| \left[ \overrightarrow{u}.\overrightarrow{MN} \right] \right|}=\dfrac{\left| 2{{m}^{2}}-8m+19 \right|}{\sqrt{93}}=\dfrac{\left| 2{{\left( m-2 \right)}^{2}}+11 \right|}{\sqrt{93}}\ge \dfrac{11}{\sqrt{93}}.$
Do đó ${{V}_{HKMN}}=\dfrac{1}{6}.HK.MN.d\left( \left( HK \right),\left( MN \right) \right).\sin \alpha \ge \dfrac{1}{6}.\dfrac{15\sqrt{6}}{6}.\sqrt{53}.\dfrac{11\sqrt{93}}{93}.\sqrt{\dfrac{31}{106}}=\dfrac{55}{12}.$
Đáp án C.