Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta...

Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M\left( 2;1;-3 \right)$ và có một VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 2;2;-3 \right).$
Do $C,D\in \Delta $ nên mặt phẳng $\left( ACD \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{AM} \right]=\left( -10;7;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{BM} \right]=\left( -2;-4;-4 \right)$.
Suy ra $\left( ACD \right):2x+y+2z+1=0;\ \left( BCD \right):x+2y+2z+2=0.$
Gọi $I\left( m;0;0 \right)$, với $m>0$ ta có $d\left( I,\left( ACD \right) \right)=d\left( I,\left( BCD \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m+1 \right|}{3}=\dfrac{\left| m+2 \right|}{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right..$
Vì $m>0$ nên $I\left( 1;0;0 \right)$ và $d\left( I,\left( BCD \right) \right)=1$. Gọi $C\left( 2{{t}_{1}}+2;2{{t}_{1}}+1;-3{{t}_{1}}-3 \right)$ và $D\left( 2{{t}_{2}}+2;2{{t}_{2}}+1;-3{{t}_{2}}-3 \right)$, mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right]=\left( -4{{t}_{1}}-4;-5{{t}_{1}}-4;-6{{t}_{1}}-6 \right)$ và mặt phẳng $\left( ABD \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{4}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD} \right]=\left( -4{{t}_{2}}-4;-5{{t}_{2}}-4;-6{{t}_{2}}-6 \right)$, trong đó ${{t}_{1}}\ne {{t}_{2}}.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( ABC \right):\left( 4{{t}_{1}}+4 \right)x+\left( 5{{t}_{1}}+4 \right)y+\left( 6{{t}_{1}}+6 \right)z+7{{t}_{1}}+6=0 \\
& \left( ABD \right):\left( 4{{t}_{2}}+4 \right)x+\left( 5{{t}_{2}}+4 \right)y+\left( 6{{t}_{2}}+6 \right)z+7{{t}_{2}}+6=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vì $\begin{aligned}
& d\left( I,\left( ABC \right) \right)=d\left( I,\left( ABD \right) \right)=d\left( I,\left( ACD \right) \right)=d\left( I,\left( BCD \right) \right)=1 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{\left| 11{{t}_{1}}+10 \right|}{\sqrt{{{\left( 4{{t}_{1}}+4 \right)}^{2}}+{{\left( 5{{t}_{1}}+4 \right)}^{2}}+{{\left( 6{{t}_{1}}+6 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| 11{{t}_{2}}+10 \right|}{\sqrt{{{\left( 4{{t}_{2}}+4 \right)}^{2}}+{{\left( 5{{t}_{2}}+4 \right)}^{2}}+{{\left( 6{{t}_{2}}+6 \right)}^{2}}}}=1 \\
& \Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=1;\ {{t}_{2}}=-\dfrac{8}{11} \\
& {{t}_{1}}=-\dfrac{8}{11};\ {{t}_{2}}=-1 \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$
Suy ra $CD=\sqrt{\left( {{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}} \right){{\left( {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{17{{\left( -1+\dfrac{8}{11} \right)}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{11}.$