Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{2}$ và điểm $M\left( 2;5;3 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất là
A. $x-4y-z+1=0$.
B. $x+4y+z-3=0$.
C. $x-4y+z-3=0$.
D. $x+4y-z+1=0$.
Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\Delta ,H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Ta có $MH=d\left( M,\left( P \right) \right)\le MI$.
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $H\equiv I$, khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $I$ và vuông góc với $MI$.
Do $I\in \Delta \Rightarrow I\left( 1+2t;t;2+2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\left( -1+2t;t-5;-1+2t \right)$
Từ $MI\bot \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{MI}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\Leftrightarrow \left( -1+2t \right).2+t-5+\left( -1+2t \right).2=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $I\left( 3;1;4 \right)$ và $\overrightarrow{MI}=\left( 1;-4;1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( 3;1;4 \right)$ và có một VTPT là $\overrightarrow{MI}=\left( 1;-4;1 \right)$ có phương trình $\left( P \right):x-4y+z-3=0$.
A. $x-4y-z+1=0$.
B. $x+4y+z-3=0$.
C. $x-4y+z-3=0$.
D. $x+4y-z+1=0$.
Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\Delta ,H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Ta có $MH=d\left( M,\left( P \right) \right)\le MI$.
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $H\equiv I$, khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $I$ và vuông góc với $MI$.
Do $I\in \Delta \Rightarrow I\left( 1+2t;t;2+2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\left( -1+2t;t-5;-1+2t \right)$
Từ $MI\bot \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{MI}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\Leftrightarrow \left( -1+2t \right).2+t-5+\left( -1+2t \right).2=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $I\left( 3;1;4 \right)$ và $\overrightarrow{MI}=\left( 1;-4;1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( 3;1;4 \right)$ và có một VTPT là $\overrightarrow{MI}=\left( 1;-4;1 \right)$ có phương trình $\left( P \right):x-4y+z-3=0$.
Đáp án C.