Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left( -3; 3 -3 \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-2y+z+15=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=100$. Đường thẳng ∆ đi qua M, nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng ∆.
A. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{3}$
B. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$
C. $\dfrac{x+3}{16}=\dfrac{y-3}{11}=\dfrac{z+3}{-10}$
D. $\dfrac{x+3}{5}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{8}$
A. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{3}$
B. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$
C. $\dfrac{x+3}{16}=\dfrac{y-3}{11}=\dfrac{z+3}{-10}$
D. $\dfrac{x+3}{5}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{8}$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 2; 3; 5 \right)$, bán kính $R=10$
Ta có $d\left( I, \left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.2-2.3+5+15 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6<R\Rightarrow $ mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) tâm H, bán kính r $\Rightarrow $ H là hình chiếu của I lên $\left( \alpha \right)$.
Gọi ${{\Delta }_{1}}$ là đường thẳng qua I và vuông góc với $\left( \alpha \right)$ $\Rightarrow {{\Delta }_{1}}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2; -2; 1 \right)$ $\Rightarrow $ Phương trình tham số của ${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-2t \\
& z=5+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Tọa độ H là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-2t \\
& z=5+t \\
& 2x-2y+z+15=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow 2\left( 2+2t \right)-2\left( 3-2t \right)+5+t+15=0\Leftrightarrow 9t+18=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -2 7; 3 \right)$
Ta có AB có độ dài lớn nhất $\Leftrightarrow $ AB là đường kính của $\left( C \right)\Leftrightarrow \Delta \equiv MH$.
Đường thẳng MH đi qua $M\left( -3; 3; -3 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MH}=\left( 1; 4; 6 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta :\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$
Ta có $d\left( I, \left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.2-2.3+5+15 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6<R\Rightarrow $ mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) tâm H, bán kính r $\Rightarrow $ H là hình chiếu của I lên $\left( \alpha \right)$.
Gọi ${{\Delta }_{1}}$ là đường thẳng qua I và vuông góc với $\left( \alpha \right)$ $\Rightarrow {{\Delta }_{1}}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2; -2; 1 \right)$ $\Rightarrow $ Phương trình tham số của ${{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-2t \\
& z=5+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Tọa độ H là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-2t \\
& z=5+t \\
& 2x-2y+z+15=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow 2\left( 2+2t \right)-2\left( 3-2t \right)+5+t+15=0\Leftrightarrow 9t+18=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow H\left( -2 7; 3 \right)$
Ta có AB có độ dài lớn nhất $\Leftrightarrow $ AB là đường kính của $\left( C \right)\Leftrightarrow \Delta \equiv MH$.
Đường thẳng MH đi qua $M\left( -3; 3; -3 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MH}=\left( 1; 4; 6 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta :\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$
Đáp án B.