Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3; 3; -2) và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{1};{{d}_{2}}:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-2}{4}$. Đường thẳng d qua M cắt ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB .
A. 3.
B. 2.
C. $\sqrt{6}$.
D. $\sqrt{5}$.
A. 3.
B. 2.
C. $\sqrt{6}$.
D. $\sqrt{5}$.
Vì $A\in {{d}_{1}}\Rightarrow $ tọa độ điểm $A\left( 1+{{t}_{1}};2+3{{t}_{1}};{{t}_{1}} \right)$
Vì $b\in {{d}_{2}}\Rightarrow $ tọa độ điểm $B\left( -1-{{t}_{2}};1+2{{t}_{2}};2+4{{t}_{2}} \right)$
Vậy tọa độ vectơ $\overrightarrow{AM}=\left( 2-{{t}_{1}};1-3{{t}_{1}};-2-{{t}_{1}} \right)$
và tọa độ vectơ $\overrightarrow{BM}=\left( 4+{{t}_{2}};2-2{{t}_{2}};-4-4{{t}_{2}} \right)$
Vì A, B và M thẳng hàng => $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{BM}\Rightarrow {{t}_{1}}={{t}_{2}}=0$
Vậy tọa độ A(l; 2; 0) và tọa độ B(-l; l; 2) $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2;-1;2 \right)\Rightarrow AB=3$.
Cách khác
${{d}_{1}}$ đi qua N(l; 2; 0) và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;3;1 \right)$.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và ${{d}_{1}}$ nên (P) có VTPT là
$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{MN} \right]=\left( 7;-4;5 \right)$ (với $\overrightarrow{MN}=\left( -2;-1;2 \right)$ )
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng
$7\left( x-3 \right)-4\left( y-3 \right)+5\left( z+2 \right)=0\Leftrightarrow \left( P \right):7x-4y+5z+1=0.$
Do d đi qua M và cắt ${{d}_{1}}$ nên $d\subset \left( P \right).$
B là giao điểm của d và ${{d}_{2}}$ nên B cũng là giao điểm của (P) và ${{d}_{2}}$.
$B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( -1-t;1+2t;2+4t \right)$
mà $B\in \left( P \right)\Leftrightarrow \left( P \right):7\left( -1-t \right)-4\left( 1+2t \right)+5\left( 2+4t \right)+1=0$
$\Leftrightarrow t=0\Rightarrow B\left( -1;1;2 \right).$
d đi qua M(3; 3; -2) và có VTCP là $\overrightarrow{BM}=\left( 4;2;-4 \right)$ hay $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-2 \right)$ nên có phương trình là $d:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+2}{-2}$
A là giao điểm của d và ${{d}_{1}}$ nên tọa độ A thỏa mãn hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{1} \\
& \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+2}{-2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=2 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( 1;2;0 \right) $. Ta có $ \overrightarrow{AB}=\left( -2;-1;2 \right)\Rightarrow AB=3.$
Vì $b\in {{d}_{2}}\Rightarrow $ tọa độ điểm $B\left( -1-{{t}_{2}};1+2{{t}_{2}};2+4{{t}_{2}} \right)$
Vậy tọa độ vectơ $\overrightarrow{AM}=\left( 2-{{t}_{1}};1-3{{t}_{1}};-2-{{t}_{1}} \right)$
và tọa độ vectơ $\overrightarrow{BM}=\left( 4+{{t}_{2}};2-2{{t}_{2}};-4-4{{t}_{2}} \right)$
Vì A, B và M thẳng hàng => $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{BM}\Rightarrow {{t}_{1}}={{t}_{2}}=0$
Vậy tọa độ A(l; 2; 0) và tọa độ B(-l; l; 2) $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2;-1;2 \right)\Rightarrow AB=3$.
Cách khác
${{d}_{1}}$ đi qua N(l; 2; 0) và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;3;1 \right)$.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và ${{d}_{1}}$ nên (P) có VTPT là
$\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{MN} \right]=\left( 7;-4;5 \right)$ (với $\overrightarrow{MN}=\left( -2;-1;2 \right)$ )
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng
$7\left( x-3 \right)-4\left( y-3 \right)+5\left( z+2 \right)=0\Leftrightarrow \left( P \right):7x-4y+5z+1=0.$
Do d đi qua M và cắt ${{d}_{1}}$ nên $d\subset \left( P \right).$
B là giao điểm của d và ${{d}_{2}}$ nên B cũng là giao điểm của (P) và ${{d}_{2}}$.
$B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( -1-t;1+2t;2+4t \right)$
mà $B\in \left( P \right)\Leftrightarrow \left( P \right):7\left( -1-t \right)-4\left( 1+2t \right)+5\left( 2+4t \right)+1=0$
$\Leftrightarrow t=0\Rightarrow B\left( -1;1;2 \right).$
d đi qua M(3; 3; -2) và có VTCP là $\overrightarrow{BM}=\left( 4;2;-4 \right)$ hay $\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-2 \right)$ nên có phương trình là $d:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+2}{-2}$
A là giao điểm của d và ${{d}_{1}}$ nên tọa độ A thỏa mãn hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z}{1} \\
& \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+2}{-2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=2 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( 1;2;0 \right) $. Ta có $ \overrightarrow{AB}=\left( -2;-1;2 \right)\Rightarrow AB=3.$
Đáp án A.