Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;1;1...

Đường thẳng ${{d}_{1}}$ có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( 1;0;-1 \right)$.
Giả sử $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với ${{d}_{1}}\Rightarrow \left( P \right):x-2-z+1=0\Leftrightarrow x-z-1=0$
Gọi $B$ là giao điểm của $\left( P \right)$ và ${{d}_{2}}.$ Tọa độ $B$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2{t}' \\
& y=3+{t}' \\
& z=0 \\
& x-z-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {t}'=-1 \\
& x=1 \\
& y=2 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B\left( 1;2;0 \right)$.
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng $AB:$
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;-1 \right)$ hay VTCP của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;1 \right)$
Đường thẳng cần tìm đi qua $B\left( 1; 2; 0 \right)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;1 \right)$
Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z}{1}$.
Cách 2:
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm. $\Delta $ cắt ${{d}_{2}}$ tại $B$.
Ta có $B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 3+2{t}'; 3+{t}'; 0 \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left( 1+2{t}'; 2+{t}'; -1 \right)$, ${{d}_{1}}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1; 0; -1 \right)$.
Ta có $\Delta \bot {{d}_{1}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \bot \overrightarrow{{{u}_{1}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\Leftrightarrow 1+2{t}'+0+1=0\Leftrightarrow {t}'=-1$. Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( -1; 1; -1 \right)$.
Đường thẳng cần tìm đi qua $B\left( 1; 2; 0 \right)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;1 \right)$
Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z}{1}$.