Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho ba mặt cầu có phương...

The Professor · 19/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho ba mặt cầu có phương trình là

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4

và

{(x + 4)}^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16

. Gọi

M

là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và

X, Y, Z

là các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ

M

đến ba mặt cầu sao cho

M X = M Y = M Z

. Khi đó tập hợp các điểm

M

là đường thẳng

d

cố định. Hỏi

d

vuông góc với mặt phẳng nào?
A.

(P_{3}) : x + 2 y + 4 z = 2020.

B.

(P_{4}) : x + 2 y + 6 z = 2020.

C.

(P_{2}) : 3 x + 2 y + 4 z = 2020.

D.

(P_{1}) : 5 x + 2 y + 4 z = 2020.

Gọi tọa độ điểm

M

là

(a; b; c)

.
Mặt cầu

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

có tâm

O (0; 0; 0)

, bán kính

R_{1} = 1

và

M X

là tiếp tuyến với mặt cầu nên

M X^{2} = M O^{2} - {r_{1}}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 1

.
Tương tự, ta có

M Y^{2} = {(a - 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c + 2)}^{2} - 4

và

M Z^{2} = {(a + 4)}^{2} + b^{2} + {(c - 3)}^{2} - 16

.
Theo đề,

M X = M Y = M Z

nên

M X^{2} = M Y^{2} = M Z^{2}

.
Suy ra

{\begin{aligned} a^{2} + b^{2} + c^{2} - 1 = {(a - 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c + 2)}^{2} - 4 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} - 1 = {(a + 4)}^{2} + b^{2} + {(c - 3)}^{2} - 16 \end{aligned} .

Rút gọn ta được

{\begin{aligned} 2 a + b - 2 c - 3 = 0 \\ 4 a - 3 c + 5 = 0 \end{aligned}

.
Từ đó,

M

thuộc đường thẳng

d

là giao tuyến của hai mặt phẳng

(α) : 2 x + y - 2 z - 3 = 0

và

(β) : 4 x - 3 z + 5 = 0

.
Đường thẳng

d

có một vectơ chỉ phương là

\vec{u} = [\vec{n_{(α)}}, \vec{n_{(β)}}] = (- 3; - 2; - 4)

.
Do đó,

d

vuông góc với mặt phẳng

(P_{2}) : 3 x + 2 y + 4 z = 2020.

Đáp án C.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu có phương...