Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba mặt cầu có phương trình là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4$ và ${{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$. Gọi $M$ là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và $X,Y,Z$ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ $M$ đến ba mặt cầu sao cho $MX=MY=MZ$. Khi đó tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng $d$ cố định. Hỏi $d$ vuông góc với mặt phẳng nào?
A. $\left( {{P}_{3}} \right):x+2y+4z=2020.$
B. $\left( {{P}_{4}} \right):x+2y+6z=2020.$
C. $\left( {{P}_{2}} \right):3x+2y+4z=2020.$
D. $\left( {{P}_{1}} \right):5x+2y+4z=2020.$
A. $\left( {{P}_{3}} \right):x+2y+4z=2020.$
B. $\left( {{P}_{4}} \right):x+2y+6z=2020.$
C. $\left( {{P}_{2}} \right):3x+2y+4z=2020.$
D. $\left( {{P}_{1}} \right):5x+2y+4z=2020.$
Gọi tọa độ điểm $M$ là $\left( a;b;c \right)$.
Mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=1$ và $MX$ là tiếp tuyến với mặt cầu nên $M{{X}^{2}}=M{{O}^{2}}-{{r}_{1}}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1$.
Tương tự, ta có $M{{Y}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}-4$ và $M{{Z}^{2}}={{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}}-16$.
Theo đề, $MX=MY=MZ$ nên $M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}}$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}-4 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1={{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}}-16 \\
\end{aligned} \right..$
Rút gọn ta được $\left\{ \begin{aligned}
& 2a+b-2c-3=0 \\
& 4a-3c+5=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó, $M$ thuộc đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x+y-2z-3=0$ và $\left( \beta \right):4x-3z+5=0$.
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}} \right]=\left( -3;-2;-4 \right)$.
Do đó, $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {{P}_{2}} \right):3x+2y+4z=2020.$
Mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=1$ và $MX$ là tiếp tuyến với mặt cầu nên $M{{X}^{2}}=M{{O}^{2}}-{{r}_{1}}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1$.
Tương tự, ta có $M{{Y}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}-4$ và $M{{Z}^{2}}={{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}}-16$.
Theo đề, $MX=MY=MZ$ nên $M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}}$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}-4 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1={{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}}-16 \\
\end{aligned} \right..$
Rút gọn ta được $\left\{ \begin{aligned}
& 2a+b-2c-3=0 \\
& 4a-3c+5=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó, $M$ thuộc đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x+y-2z-3=0$ và $\left( \beta \right):4x-3z+5=0$.
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}} \right]=\left( -3;-2;-4 \right)$.
Do đó, $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {{P}_{2}} \right):3x+2y+4z=2020.$
Đáp án C.