Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x={{t}_{1}} \\
& y=0 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.,{{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y={{t}_{2}} \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.,{{d}_{3}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=0 \\
& z={{t}_{3}} \\
\end{aligned} \right. $. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ H\left( 3;2;1 \right) $ và cắt ba đường thẳng $ {{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}} $ lần lượt tại $ A,B,C $ sao cho $ H $ là trực tâm của tam giác $ ABC$.
A. $2x+2y+z-11=0$.
B. $x+y+z-6=0$.
C. $2x+2y-z-9=0$.
D. $3x+2y+z-14=0$.
Nhận xét: Ba đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}}$ đôi một vuông góc với nhau tại điểm $I\left( 1;0;0 \right)$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm, $\left( P \right)$ cắt ${{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}}$ lần lượt tại $A,B,C$ và $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.
Gọi $E$ là giao điểm của $CH$ với $AB$, $F$ là giao điểm của $BH$ với $AC$.
Ta có $AB\bot CE,AB\bot CI\Rightarrow AB\bot \left( CIE \right)$ mà $IH\subset \left( CIE \right)$ nên $AB\bot IH$.
Lại có $AC\bot BF,AC\bot BI\Rightarrow AC\bot \left( BFI \right)$ mà $IH\subset \left( BFI \right)$ nên $AC\bot IH$.
Suy ra $IH\bot \left( ABC \right)$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ cần tìm đi qua $H\left( 3;2;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{IH}=\left( 2;2;1 \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ :
& x={{t}_{1}} \\
& y=0 \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.,{{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y={{t}_{2}} \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.,{{d}_{3}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=0 \\
& z={{t}_{3}} \\
\end{aligned} \right. $. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ H\left( 3;2;1 \right) $ và cắt ba đường thẳng $ {{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}} $ lần lượt tại $ A,B,C $ sao cho $ H $ là trực tâm của tam giác $ ABC$.
A. $2x+2y+z-11=0$.
B. $x+y+z-6=0$.
C. $2x+2y-z-9=0$.
D. $3x+2y+z-14=0$.
Nhận xét: Ba đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}}$ đôi một vuông góc với nhau tại điểm $I\left( 1;0;0 \right)$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm, $\left( P \right)$ cắt ${{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}}$ lần lượt tại $A,B,C$ và $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.
Gọi $E$ là giao điểm của $CH$ với $AB$, $F$ là giao điểm của $BH$ với $AC$.
Ta có $AB\bot CE,AB\bot CI\Rightarrow AB\bot \left( CIE \right)$ mà $IH\subset \left( CIE \right)$ nên $AB\bot IH$.
Lại có $AC\bot BF,AC\bot BI\Rightarrow AC\bot \left( BFI \right)$ mà $IH\subset \left( BFI \right)$ nên $AC\bot IH$.
Suy ra $IH\bot \left( ABC \right)$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ cần tìm đi qua $H\left( 3;2;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{IH}=\left( 2;2;1 \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ :
$2.\left( x-3 \right)+2.\left( y-2 \right)+1.\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-11=0$.
Đáp án A.