Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A(1;4;5),B(3;4;0),C(2;-1;0)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-7=0$. Gọi $M(a,b,c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $2\text{a}+3b-4c$.
A. 3
B. 2
C. 4
D. $-3$
A. 3
B. 2
C. 4
D. $-3$
Ta có $M{{A}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}=M{{I}^{2}}-2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+I{{A}^{2}}$
$M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+I{{B}^{2}}$
$3M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MC}}^{2}}=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=3\left( M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IC}+I{{C}^{2}} \right)$
Do đó $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}=5M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right)+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$.
Chọn $I(x,y,z)$ sao cho $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 1-x;4-y;5-z \right),\overrightarrow{IB}=\left( 3-x;4-y;-z \right),\overrightarrow{IC}=\left( 6-3\text{x};-3-3y;-3z \right)$
Suy ra $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-x+3-y+6-3x=0 \\
& 4-y+4-y-3-3y=0 \\
& 5-z-z-3\text{z}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I(2;1;1)$.
Do $I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$ không đổi nên $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ${{\left( MI \right)}_{\min }}$ hay M là hình chiếu của I lên mặt phẳng $(P)$.
Vectơ chỉ phương của IM là $\overrightarrow{n}=(3;-3;-2)$.
Phương trình của $(IM):\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.(t\in \mathbb{R})$.
Gọi $M(2+t;1+t;1+t)\in (P)$ là hình chiếu của I lên mặt phẳng $(P)$.
Khi đó: $2+t+1+t+1+t-7=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(3;2;2)$. Vậy $2\text{a}+3b-4c=4$.
$M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+I{{B}^{2}}$
$3M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MC}}^{2}}=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=3\left( M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IC}+I{{C}^{2}} \right)$
Do đó $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}=5M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right)+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$.
Chọn $I(x,y,z)$ sao cho $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 1-x;4-y;5-z \right),\overrightarrow{IB}=\left( 3-x;4-y;-z \right),\overrightarrow{IC}=\left( 6-3\text{x};-3-3y;-3z \right)$
Suy ra $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-x+3-y+6-3x=0 \\
& 4-y+4-y-3-3y=0 \\
& 5-z-z-3\text{z}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I(2;1;1)$.
Do $I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$ không đổi nên $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ${{\left( MI \right)}_{\min }}$ hay M là hình chiếu của I lên mặt phẳng $(P)$.
Vectơ chỉ phương của IM là $\overrightarrow{n}=(3;-3;-2)$.
Phương trình của $(IM):\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.(t\in \mathbb{R})$.
Gọi $M(2+t;1+t;1+t)\in (P)$ là hình chiếu của I lên mặt phẳng $(P)$.
Khi đó: $2+t+1+t+1+t-7=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(3;2;2)$. Vậy $2\text{a}+3b-4c=4$.
Đáp án C.