Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R lần lượt di động trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho $\dfrac{1}{O{{P}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{Q}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{R}^{2}}}=\dfrac{1}{8}$. Biết mặt phẳng (PQR) luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) cố định. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua $M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2};0 \right)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm A, B phân biệt. Diện tích lớn nhất của tam giác AOB là
A. $\sqrt{15}$.
B. $\sqrt{5}$.
C. $\sqrt{17}$.
D. $\sqrt{7}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $O$ trên mặt phẳng $\left( PQR \right)$.
Dễ thấy $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{P}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{Q}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{R}^{2}}},$ suy ra $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{8}$ hay $OH=2\sqrt{2}.$
Khi đó suy ra mặt phẳng $\left( PQR \right)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O$, bán kính $\text{R}=2\sqrt{2}$.
Ta có $OM=1<R$ nên điểm $M$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, do tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $OI\bot AB$ và ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OI.AB.$
Đặt $OI=x$, vì $OI\le OM$ nên $0<x\le 1$ và $AB=2AI=2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{8-{{x}^{2}}}.$
Ta có ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}x.2\sqrt{8-{{x}^{2}}}=x\sqrt{8-{{x}^{2}}}=\sqrt{8{{x}^{2}}-{{x}^{4}}}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=8{{x}^{2}}-{{x}^{4}}$ với $0<x\le 1.$
Có $f'\left( x \right)=16x-4{{x}^{3}}=4x\left( 4-{{x}^{2}} \right)>0,\forall x\in \left( 0;1 \right].$ Suy ra $f\left( x \right)\le f\left( 1 \right)=7.$
Vậy diện tích của tam giác $OAB$ lớn nhất bằng $\sqrt{7}$ đạt được khi $x=1=OI=OM$, hay $I\equiv M$, hay $M$ là trung điểm của $AB.$
A. $\sqrt{15}$.
B. $\sqrt{5}$.
C. $\sqrt{17}$.
D. $\sqrt{7}$.
Dễ thấy $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{P}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{Q}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{R}^{2}}},$ suy ra $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{8}$ hay $OH=2\sqrt{2}.$
Khi đó suy ra mặt phẳng $\left( PQR \right)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O$, bán kính $\text{R}=2\sqrt{2}$.
Ta có $OM=1<R$ nên điểm $M$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, do tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $OI\bot AB$ và ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OI.AB.$
Đặt $OI=x$, vì $OI\le OM$ nên $0<x\le 1$ và $AB=2AI=2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{8-{{x}^{2}}}.$
Ta có ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}x.2\sqrt{8-{{x}^{2}}}=x\sqrt{8-{{x}^{2}}}=\sqrt{8{{x}^{2}}-{{x}^{4}}}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=8{{x}^{2}}-{{x}^{4}}$ với $0<x\le 1.$
Có $f'\left( x \right)=16x-4{{x}^{3}}=4x\left( 4-{{x}^{2}} \right)>0,\forall x\in \left( 0;1 \right].$ Suy ra $f\left( x \right)\le f\left( 1 \right)=7.$
Vậy diện tích của tam giác $OAB$ lớn nhất bằng $\sqrt{7}$ đạt được khi $x=1=OI=OM$, hay $I\equiv M$, hay $M$ là trung điểm của $AB.$
Đáp án D.