Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M\left( 6;0;0 \right),N\left( 0;6;0 \right),P\left( 0;0;6 \right)$. Hai mặt cầu có phương trình $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0$ và $\left( {{S}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0$ cắt nhau theo đường tròn $\left( C \right)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $\left( C \right)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP.PM$
A. 4
B. 3
C. 1
D. Vô số
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn $\left( C \right)$, gọi $I$ là tâm của mặt cầu tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$ $\left( I\in \left( \alpha \right) \right)$
Trừ theo vế hai phương trình của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ ta được
$\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1 \right)=0$
$\Rightarrow \left( \alpha \right):6x-4y-2z=0\Leftrightarrow 3x-2y-z=0$
Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$ theo đoạn chắn là
$\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+y+z-6=0$
Nhận thấy $\left( \alpha \right)\bot \left( MNP \right),\Delta MNP$ là tam giác đều có tâm $G\left( 2;2;2 \right)\in \left( \alpha \right)$ nên $I$ thuộc đường thẳng qua $G$ và vuông góc với $\left( MNP \right)$
Vậy có vô số mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán
A. 4
B. 3
C. 1
D. Vô số
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn $\left( C \right)$, gọi $I$ là tâm của mặt cầu tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$ $\left( I\in \left( \alpha \right) \right)$
Trừ theo vế hai phương trình của hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$ ta được
$\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1 \right)=0$
$\Rightarrow \left( \alpha \right):6x-4y-2z=0\Leftrightarrow 3x-2y-z=0$
Phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$ theo đoạn chắn là
$\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1\Leftrightarrow x+y+z-6=0$
Nhận thấy $\left( \alpha \right)\bot \left( MNP \right),\Delta MNP$ là tam giác đều có tâm $G\left( 2;2;2 \right)\in \left( \alpha \right)$ nên $I$ thuộc đường thẳng qua $G$ và vuông góc với $\left( MNP \right)$
Vậy có vô số mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán
Đáp án D.