Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( m;0;0 \right),B\left( 0;1;0 \right),C\left( 0;0;n \right)$ trong đó $m.n=2.$ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có bán kính nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. $R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
B. $R=\sqrt{2}.$
C. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D. $R=\dfrac{1}{2}.$
A. $R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
B. $R=\sqrt{2}.$
C. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D. $R=\dfrac{1}{2}.$
Vì tứ diện OABC đôi một vuông góc với nhau tại O nên mặt cầu ngoại tiếp nó có bán kính bằng
$R=\dfrac{1}{2}\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+1}$
Mà ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}\ge 2mn=4$ suy ra $R\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$ Vậy ${{R}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
$R=\dfrac{1}{2}\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+1}$
Mà ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}\ge 2mn=4$ suy ra $R\ge \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$ Vậy ${{R}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
Đáp án A.