Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;-3;7 \right),B\left( 0;4;-3 \right)$ và $C\left( 4;2;5 \right)$. Biết điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ nằm trên mp $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng $P={{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}$ bằng
A. $P=0.$
B. $P=6.$
C. $P=3.$
D. $P=-3.$
A. $P=0.$
B. $P=6.$
C. $P=3.$
D. $P=-3.$
Gọi G là điểm sao cho $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow G\left( 2;1;3 \right).$
Khi đó $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right|=3MG.$
Nên $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MG$ ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của $G\left( 2;1;3 \right)$ trên mp $\left( Oxy \right)$
Do đó $M=\left( 2;1;0 \right).$
Vậy $P={{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=2+1+0=3.$
Khi đó $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right|=3MG.$
Nên $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|$ có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MG$ ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của $G\left( 2;1;3 \right)$ trên mp $\left( Oxy \right)$
Do đó $M=\left( 2;1;0 \right).$
Vậy $P={{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=2+1+0=3.$
Đáp án C.