Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( -2;0;0...

Cách 1. Xét trục $d$ của $\Delta ABC$, ta có $\left( ABC \right):x+y+z+2=0$, do $\Delta ABC$ đều nên $d$ đi qua trọng tâm $G\left( -\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;1 \right)$ suy ra
$d:\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{2}{3}+t \\
& y=-\dfrac{2}{3}+t \\
& z=-\dfrac{2}{3}+t \\
\end{aligned} \right. $, ta thấy $ \Delta DAB=\Delta DBC=\Delta DCA$
Suy ra $DA=DB=DC\Rightarrow D\in d$ nên giả sử $D\left( -\dfrac{2}{3}+t;-\dfrac{2}{3}+t;-\dfrac{2}{3}+t \right)$
Ta có:
$\overrightarrow{AD}=\left( \dfrac{4}{3}+t;-\dfrac{2}{3}+t;-\dfrac{2}{3}+t \right);\overrightarrow{BD}=\left( -\dfrac{2}{3}+t;-\dfrac{4}{3}+t;-\dfrac{2}{3}+t \right);\overrightarrow{CD}=\left( \dfrac{2}{3}+t;-\dfrac{2}{3}+t;\dfrac{4}{3}+t \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BD}=0 \\
& \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-\dfrac{2}{3}\Rightarrow D\left( -\dfrac{4}{3};-\dfrac{4}{3};-\dfrac{4}{3} \right) \\
& t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow D\left( 0;0;0 \right) (loai) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $I\in d\Rightarrow I\left( -\dfrac{2}{3}+t;-\dfrac{2}{3}+t;-\dfrac{2}{3}+t \right)$, do tứ diện $ABCD$ nội tiếp mặt cầu tâm $I$ nên $IA=ID\Rightarrow t=\dfrac{1}{3}\Rightarrow I\left( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3} \right)\Rightarrow S=-1$
Cách 2.
Xét tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và $OA=OB=OC=2$, $\Delta ABC$ đều cạnh bằng $2\sqrt{2}$ nên gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ thì $G\left( -\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3} \right)$ và đường thẳng $OG$ là trục đường tròn ngoai tiếp $\Delta ABC$. Dựng hình hộp chữ nhật $OADB.C{A}'{D}'{B}'$. Khi đó $D\left( -2;-2;0 \right)$ và tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là trung điểm $J$ của đoạn thẳng $CD$ có tọa độ là $J\left( -1;-1;-1 \right)$
Theo giả thiết: Vì $D$ là điểm khác $O$ sao cho $DA,DB,DC$ đôi một vuông góc nhau, $\Delta ABC$ đều nên $D$ đối xứng với $O$ qua $G$ và tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $DABC$ đối xứng với điểm $J$ qua $G$. Do đó: $I\left( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3} \right)$. Vậy $S=-1$