Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( 1;4;5 \right),B\left( 3;4;0 \right),C\left( 2;-1;0 \right)$ và mặt phẳng $(P):3x-3y-2z-12=0$. Gọi $M\left( a;b;c \right)$ thuộc (P) sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}$. Tính tổng
$a+b+c$.
A. 3
B. 2
C. -2
D. -3
$a+b+c$.
A. 3
B. 2
C. -2
D. -3
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}(*)$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 1-x;4-y;5-z \right),\overrightarrow{IB}=\left( 3-x;4-y;-z \right)$ và $3\overrightarrow{IC}=\left( 6-3x;-3-3y;-3z \right)$
Từ (*) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& 1-x+3-x+6-3x=0 \\
& 4-y+4-y-3-3y=0 \\
& 5-z-z-3z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 2;1;1 \right)$
Khi đó $M{{A}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+I{{A}^{2}}$
$M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+I{{B}^{2}}$
$3M{{C}^{2}}=3{{\overrightarrow{MC}}^{2}}=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=3\left( M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IC}+I{{C}^{2}} \right)$
Do đó $S=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}=5M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$.
Do $I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$ không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Tức là M là hình chiếu của I lên mặt phẳng $(P):3x-3y-2z-12=0$.
Vecto chỉ phương của IM là $\overrightarrow{n}=\left( 3;-3;-2 \right)$
Phương trình tham số của IM là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+3t \\
& y=1-3t \\
& z=1-2t \\
\end{aligned} \right.,t\in \mathbb{R}$
Gọi $M\left( 2+3t;1-3t;1-2t \right)\in \left( P \right)$ là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).
Khi đó $3\left( 2+3t \right)-3\left( 1-3t \right)-2\left( 1-2t \right)-12=0\Leftrightarrow 22t-11=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$
Suy ra $M\left( \dfrac{7}{2};-\dfrac{1}{2};0 \right)$. Vậy $a+b+c=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}=3$
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 1-x;4-y;5-z \right),\overrightarrow{IB}=\left( 3-x;4-y;-z \right)$ và $3\overrightarrow{IC}=\left( 6-3x;-3-3y;-3z \right)$
Từ (*) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& 1-x+3-x+6-3x=0 \\
& 4-y+4-y-3-3y=0 \\
& 5-z-z-3z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=1 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 2;1;1 \right)$
Khi đó $M{{A}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+I{{A}^{2}}$
$M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+I{{B}^{2}}$
$3M{{C}^{2}}=3{{\overrightarrow{MC}}^{2}}=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=3\left( M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IC}+I{{C}^{2}} \right)$
Do đó $S=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+3M{{C}^{2}}=5M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$.
Do $I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+3I{{C}^{2}}$ không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI đạt giá trị nhỏ nhất. Tức là M là hình chiếu của I lên mặt phẳng $(P):3x-3y-2z-12=0$.
Vecto chỉ phương của IM là $\overrightarrow{n}=\left( 3;-3;-2 \right)$
Phương trình tham số của IM là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+3t \\
& y=1-3t \\
& z=1-2t \\
\end{aligned} \right.,t\in \mathbb{R}$
Gọi $M\left( 2+3t;1-3t;1-2t \right)\in \left( P \right)$ là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).
Khi đó $3\left( 2+3t \right)-3\left( 1-3t \right)-2\left( 1-2t \right)-12=0\Leftrightarrow 22t-11=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$
Suy ra $M\left( \dfrac{7}{2};-\dfrac{1}{2};0 \right)$. Vậy $a+b+c=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}=3$
Đáp án A.